Consideremos as seguintes bases de R^3 :
B=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) e C=(1,0,-1),(0,1,-1),(-1,1,1)
Utilize a matriz obtida no item (a) para calcular vB, sendo vC=(1,2,3) :

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me mandou um exercício de Álgebra Linear que envolve duas bases de . A base é a padrão, que todo mundo conhece, e a base é um pouco diferente. O que você precisa fazer é encontrar as coordenadas do vetor na base , dado que ele tem coordenadas na base . Pra isso, vamos precisar usar a matriz de mudança de base que relaciona com .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são essas bases. A base é a base padrão de , composta pelos vetores , e . A base tem vetores diferentes: , e .

Passo 3

Para converter as coordenadas de da base para a base , precisamos da matriz de mudança de base da base para a base . Essa matriz é formada pelas colunas que são os vetores da base expressos na base . Já que é a base padrão, as colunas da matriz serão exatamente os vetores de .

Passo 4

Então, a matriz de mudança de base PC to B = 1 & 0 & -1 0 & 1 & 1 -1 & -1 & 1 é:

Passo 5

Agora, para encontrar as coordenadas de 1 2 3 na base vB = PC to B cdot vC = 1 & 0 & -1 0 & 1 & 1 -1 & -1 & 1 cdot 1 2 3 , multiplicamos a matriz pelo vetor :

Passo 6

Vamos fazer a multiplicação passo a passo:
  • Primeira componente:
    1 times 1 + 0 times 2 + (-1) times 3 = 1 + 0 - 3 = -2
  • Segunda componente:
    0 times 1 + 1 times 2 + 1 times 3 = 0 + 2 + 3 = 5
  • Terceira componente:
    (-1) times 1 + (-1) times 2 + 1 times 3 = -1 - 2 + 3 = 0

Resposta

Então, as coordenadas de vB = -2 5 0 na base são:

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