Mostre que as matrizes da forma (ll1 & 1y y & 1) onde y é um número real não nulo, verificam a equação X^2=2 X.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz X = 1 & 1y y & 1 do tipo:
onde é um número real diferente de zero. A gente precisa mostrar que, ao multiplicar essa matriz por ela mesma, ou seja, calcular , o resultado vai ser igual a . Para isso, vamos usar a regra de multiplicação de matrizes e propriedades básicas de álgebra de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular X^2 = X times X = 1 & 1y y & 1 times 1 & 1y y & 1 . Multiplicar por significa fazer a multiplicação de matrizes:
A regra para multiplicar matrizes é multiplicar as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda e somar os resultados.

Passo 3

Vamos calcular cada elemento de 1 times 1 + 1y times y = 1 + 1 = 2 :
  • Elemento (1,1):
1 times 1y + 1y times 1 = 1y + 1y = 2y
  • Elemento (1,2):
y times 1 + 1 times y = y + y = 2y
  • Elemento (2,1):
y times 1y + 1 times 1 = 1 + 1 = 2
  • Elemento (2,2):
X^2 = 2 & 2y 2y & 2
Então, a matriz fica:

Passo 4

Agora vamos calcular 2X = 2 times 1 & 1y y & 1 = 2 times 1 & 2 times 1y 2 times y & 2 times 1 = 2 & 2y 2y & 2 :

Passo 5

Comparando as matrizes que encontramos para X^2 = 2 & 2y 2y & 2 e 2X = 2 & 2y 2y & 2 e :
A gente vê que são exatamente iguais!

Resposta

Portanto, a matriz satisfaz a equação .

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