Provar que os vetores 1 , t e
de
(IR) são dois a dois ortogonais em relação ao produto interno dado por:
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para provar que os vetores
,
e
no espaço
(o conjunto de polinômios de grau no máximo 2) são ortogonais entre si usando um produto interno específico. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa dois vetores serem ortogonais em um espaço com produto interno, e como calcular esse produto usando a fórmula fornecida:
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é ortogonalidade. Dois vetores são ortogonais em relação a um produto interno se o produto interno entre eles for igual a zero. No nosso caso, precisamos verificar se:
Passo 3
Vamos calcular cada um desses produtos internos usando a definição dada. Primeiro, calculamos
:
A integral de
de
a
é zero, porque a função
é ímpar e o intervalo é simétrico em torno de zero.
Passo 4
Agora, calculamos
:
Calculando cada parte:
Então:
Passo 5
Finalmente, vamos calcular
:
Observamos que:
porque
é uma função ímpar e o intervalo é simétrico. Além disso:
Então:
Resposta
Portanto, os vetores
,
e
são dois a dois ortogonais em
em relação ao produto interno definido por
.
Exercícios relacionados
Seja
um operador auto-adjunto de um espaço euclidiano
.
, para todo
, mostrar que
Determine o momento de inercia que passa pelo o centro de uma esfera maciça e uniforme de raio R , massa M .
Considerar, no
, as bases
b) Calcular
sabendo que
.
Consideremos as seguintes bases de
:
Utilize a matriz obtida no item (a) para calcular
, sendo
: