Provar que os vetores 1 , t e de (IR) são dois a dois ortogonais em relação ao produto interno dado por:

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para provar que os vetores , e no espaço (o conjunto de polinômios de grau no máximo 2) são ortogonais entre si usando um produto interno específico. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa dois vetores serem ortogonais em um espaço com produto interno, e como calcular esse produto usando a fórmula fornecida:

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é ortogonalidade. Dois vetores são ortogonais em relação a um produto interno se o produto interno entre eles for igual a zero. No nosso caso, precisamos verificar se:

Passo 3

Vamos calcular cada um desses produtos internos usando a definição dada. Primeiro, calculamos :
A integral de de a é zero, porque a função é ímpar e o intervalo é simétrico em torno de zero.

Passo 4

Agora, calculamos :
Calculando cada parte:
Então:

Passo 5

Finalmente, vamos calcular :
Observamos que:
porque é uma função ímpar e o intervalo é simétrico. Além disso:
Então:

Resposta

Portanto, os vetores , e são dois a dois ortogonais em em relação ao produto interno definido por .

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