Provar que os vetores 1 , t e t^2-13 de P2 (IR) são dois a dois ortogonais em relação ao produto interno dado por:
lang<= f(t), g(t)rang<==integral-1^1 f(t) g(t) d t

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para provar que os vetores lang<= f(t), g(t)rang<= = integral-1^1 f(t) g(t) , dt , e no espaço (o conjunto de polinômios de grau no máximo 2) são ortogonais entre si usando um produto interno específico. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa dois vetores serem ortogonais em um espaço com produto interno, e como calcular esse produto usando a fórmula fornecida:

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é ortogonalidade. Dois vetores são ortogonais em relação a um produto interno se o produto interno entre eles for igual a zero. No nosso caso, precisamos verificar se:

Passo 3

Vamos calcular cada um desses produtos internos usando a definição dada. Primeiro, calculamos lang<= 1, t rang<= = integral-1^1 1 cdot t , dt = integral-1^1 t , dt :
A integral de de a é zero, porque a função é ímpar e o intervalo é simétrico em torno de zero.

Passo 4

Agora, calculamos lang<= 1, t^2 - 13 rang<= = integral-1^1 1 cdot ( t^2 - 13 ) , dt = integral-1^1 t^2 , dt - 13 integral-1^1 1 , dt :
integral-1^1 t^2 , dt = [ t^33 ]-1^1 = 13 - ( -13 ) = 23
Calculando cada parte:
13 integral-1^1 1 , dt = 13 cdot (1 - (-1)) = 13 cdot 2 = 23
lang<= 1, t^2 - 13 rang<= = 23 - 23 = 0
Então:

Passo 5

Finalmente, vamos calcular lang<= t, t^2 - 13 rang<= = integral-1^1 t cdot ( t^2 - 13 ) , dt = integral-1^1 t^3 , dt - 13 integral-1^1 t , dt :
integral-1^1 t^3 , dt = 0
Observamos que:
integral-1^1 t , dt = 0
porque lang<= t, t^2 - 13 rang<= = 0 - 13 cdot 0 = 0 é uma função ímpar e o intervalo é simétrico. Além disso:
Então:

Resposta

Portanto, os vetores , e são dois a dois ortogonais em em relação ao produto interno definido por .

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