Seja um operador auto-adjunto de um espaço euclidiano . , para todo , mostrar que

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um operador auto-adjunto em um espaço euclidiano . O que isso significa? Bom, operador auto-adjunto é aquele que satisfaz para todos os vetores em . A questão diz que para todo em , e a gente precisa mostrar que é o operador zero, ou seja, . Vamos precisar entender conceitos de operadores auto-adjuntos e como a condição dada nos ajuda a concluir que é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um espaço euclidiano, como o que estamos trabalhando, a forma bilinear representa o produto interno. O fato de ser auto-adjunto significa que ele é igual ao seu adjunto, ou seja, . Isso implica que para quaisquer vetores e em , temos:
Essa propriedade será útil para o que vem a seguir.

Passo 3

A condição dada no problema é que para todo em . Vamos aproveitar isso. Sabemos que, para qualquer operador linear, podemos expressar em termos de sua forma bilinear.
Como é auto-adjunto, e a condição vale para todo , queremos mostrar que para todo . Para isso, consideramos a propriedade da forma bilinear simétrica.

Passo 4

Vamos provar que usando a condição dada. Considere dois vetores quaisquer e em . Vamos olhar para a expressão . Pela condição do problema, isso deve ser igual a zero:
Agora, vamos expandir essa expressão usando a linearidade do operador e do produto interno:
Sabemos que e pela condição dada. Então, a equação fica:

Passo 5

Como é auto-adjunto, temos que . Usando isso na equação anterior:
Mas . Em espaços euclidianos reais, isso simplifica para:
Portanto, para todo em , temos .

Passo 6

A conclusão de que para todos os em implica que . Isso porque, em um espaço euclidiano, se o produto interno de um vetor com qualquer outro vetor é zero, então o vetor deve ser o vetor zero.
Como isso vale para qualquer em , concluímos que para todo em , ou seja, é o operador zero.

Resposta

Portanto, mostramos que .

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