Considerar o seguinte algoritmo para calcular . Gerar pares de números aleatórios no intervalo e calcular em seguida o número dos pontos que se encontrar no primeiro quadrante do círculo unitário. Naturalmente, é o limite da sucessão . Escrever um programa para calcular esta sucessão e observar a evolução do erro para valores crescentes de n. Faça o gráfico desta evolução.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A ideia aqui é calcular o valor de usando um método chamado Monte Carlo, que envolve gerar números aleatórios. Para isso, precisamos entender um pouco de geometria e programação básica. Vamos precisar gerar pares de números aleatórios no intervalo e contar quantos desses pontos caem dentro do primeiro quadrante de um círculo unitário. A partir daí, usamos a fórmula para aproximar . Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa gerar pares de números aleatórios no intervalo . Isso significa que para cada ponto, tanto quanto são escolhidos aleatoriamente entre 0 e 1. Esses pontos representam coordenadas dentro de um quadrado de lado 1.

Passo 3

Agora, precisamos identificar quantos desses pontos caem dentro do primeiro quadrante de um círculo unitário. O primeiro quadrante do círculo unitário é a parte do círculo com raio 1 que está no canto superior direito do sistema de coordenadas (onde e ).

Passo 4

Para determinar se um ponto está dentro do círculo, usamos a equação do círculo: . Se essa desigualdade for verdadeira, o ponto está dentro do círculo; caso contrário, está fora.

Passo 5

Contamos quantos pontos, denotados por , satisfazem a condição . Esse número representa quantos pontos estão dentro do círculo.

Passo 6

A partir daí, usamos a fórmula dada para aproximar :
Essa fórmula vem da relação entre a área do quadrado (que é 1) e a área do quarto de círculo (que é ). Multiplicando por 4, obtemos uma aproximação de .

Passo 7

Para observar a evolução do erro, calculamos a diferença entre e o valor real de para diferentes valores de . Quanto maior for , mais pontos geramos e mais precisa será a nossa aproximação de .

Resposta

Através desse método, ao aumentar o número de pares , a sequência se aproxima cada vez mais do valor real de . O gráfico da evolução do erro mostrará essa convergência conforme cresce.

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