Considerar o seguinte algoritmo para calcular
. Gerar
pares
de números aleatórios no intervalo
e calcular em seguida o número
dos pontos que se encontrar no primeiro quadrante do círculo unitário. Naturalmente,
é o limite da sucessão
. Escrever um programa para calcular esta sucessão e observar a evolução do erro para valores crescentes de n. Faça o gráfico desta evolução.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A ideia aqui é calcular o valor de
usando um método chamado Monte Carlo, que envolve gerar números aleatórios. Para isso, precisamos entender um pouco de geometria e programação básica. Vamos precisar gerar pares de números aleatórios
no intervalo
e contar quantos desses pontos caem dentro do primeiro quadrante de um círculo unitário. A partir daí, usamos a fórmula
para aproximar
. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa gerar
pares de números aleatórios
no intervalo
. Isso significa que para cada ponto, tanto
quanto
são escolhidos aleatoriamente entre 0 e 1. Esses pontos representam coordenadas dentro de um quadrado de lado 1.
Passo 3
Agora, precisamos identificar quantos desses pontos caem dentro do primeiro quadrante de um círculo unitário. O primeiro quadrante do círculo unitário é a parte do círculo com raio 1 que está no canto superior direito do sistema de coordenadas (onde
e
).
Passo 4
Para determinar se um ponto
está dentro do círculo, usamos a equação do círculo:
. Se essa desigualdade for verdadeira, o ponto está dentro do círculo; caso contrário, está fora.
Passo 5
Contamos quantos pontos, denotados por
, satisfazem a condição
. Esse número
representa quantos pontos estão dentro do círculo.
Passo 6
A partir daí, usamos a fórmula dada para aproximar
:
Essa fórmula vem da relação entre a área do quadrado (que é 1) e a área do quarto de círculo (que é
). Multiplicando por 4, obtemos uma aproximação de
.
Passo 7
Para observar a evolução do erro, calculamos a diferença entre
e o valor real de
para diferentes valores de
. Quanto maior for
, mais pontos geramos e mais precisa será a nossa aproximação de
.
Resposta
Através desse método, ao aumentar o número de pares
, a sequência
se aproxima cada vez mais do valor real de
. O gráfico da evolução do erro mostrará essa convergência conforme
cresce.
Exercícios relacionados
Sendo
a soma da série
podemos calcular uma aproximação de
somando os
primeiros termos, para
suficientemente grande. Escreva um código para uma função para calcular as somas parciais desta série. Para que valores de
é que se obtém uma aproximação de
com precisão de
? (considere
.)
Fazer o fluxograma e a reação de obtenção do nitrobenzeno, de acordo com o descrito a seguir:
- Mistura nitrante: Benzeno => 32 a
, 53 a e
Processo contínuo e batelada
Para o dióxido de carbono
, a equação de estado de um gás tem os seguintes coeficientes:
e
. Determine o volume ocupado por 1000 moléculas deste gás, à temperatura de 300 K e pressão de
, pelo método de bisecção, com uma tolerância de
. Constante de Boltzmann é
Joule
.
Faça também outros algoritmos para resolução usando os métodos de falsaposição e de Newton-Raphson.
Mostre qual é o maior e o menor número flutuante que seu computador trabalha, realmax e realmin no MatLab. Mostre qual é o epsilon de sua máquina, eps no MatLab. O que quer dizer cada um destes valores?
Avaliar o erro a expressão:
Avaliar o erro a expressão:
Para
, 1.e +15
. Calcule os erros absolutos e relativos. Discuta a diferença nos resultados.