Considerar o seguinte algoritmo para calcular pi. Gerar n pares (xk, yk) de números aleatórios no intervalo [0,1] e calcular em seguida o número m dos pontos que se encontrar no primeiro quadrante do círculo unitário. Naturalmente, pi é o limite da sucessão pin=4 m / n. Escrever um programa para calcular esta sucessão e observar a evolução do erro para valores crescentes de n. Faça o gráfico desta evolução.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A ideia aqui é calcular o valor de pi usando um método chamado Monte Carlo, que envolve gerar números aleatórios. Para isso, precisamos entender um pouco de geometria e programação básica. Vamos precisar gerar pares de números aleatórios (xk, yk) no intervalo [0,1] e contar quantos desses pontos caem dentro do primeiro quadrante de um círculo unitário. A partir daí, usamos a fórmula pin = 4mn para aproximar pi. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa gerar n pares de números aleatórios (xk, yk) no intervalo [0,1]. Isso significa que para cada ponto, tanto xk quanto yk são escolhidos aleatoriamente entre 0 e 1. Esses pontos representam coordenadas dentro de um quadrado de lado 1.

Passo 3

Agora, precisamos identificar quantos desses pontos caem dentro do primeiro quadrante de um círculo unitário. O primeiro quadrante do círculo unitário é a parte do círculo com raio 1 que está no canto superior direito do sistema de coordenadas (onde x >= 0 e y >= 0).

Passo 4

Para determinar se um ponto (xk, yk) está dentro do círculo, usamos a equação do círculo: xk^2 + yk^2 <= 1. Se essa desigualdade for verdadeira, o ponto está dentro do círculo; caso contrário, está fora.

Passo 5

Contamos quantos pontos, denotados por m, satisfazem a condição xk^2 + yk^2 <= 1. Esse número m representa quantos pontos estão dentro do círculo.

Passo 6

A partir daí, usamos a fórmula dada para aproximar pi:
pin = 4mn
Essa fórmula vem da relação entre a área do quadrado (que é 1) e a área do quarto de círculo (que é pi4). Multiplicando por 4, obtemos uma aproximação de pi.

Passo 7

Para observar a evolução do erro, calculamos a diferença entre pin e o valor real de pi para diferentes valores de n. Quanto maior for n, mais pontos geramos e mais precisa será a nossa aproximação de pi.

Resposta

Através desse método, ao aumentar o número de pares n, a sequência pin = 4mn se aproxima cada vez mais do valor real de pi. O gráfico da evolução do erro mostrará essa convergência conforme n cresce.

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