Considerar o seguinte algoritmo para calcular
. Gerar
pares
de números aleatórios no intervalo
e calcular em seguida o número
dos pontos que se encontrar no primeiro quadrante do círculo unitário. Naturalmente,
é o limite da sucessão
. Escrever um programa para calcular esta sucessão e observar a evolução do erro para valores crescentes de n. Faça o gráfico desta evolução.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A ideia aqui é calcular o valor de
usando um método chamado Monte Carlo, que envolve gerar números aleatórios. Para isso, precisamos entender um pouco de geometria e programação básica. Vamos precisar gerar pares de números aleatórios
no intervalo
e contar quantos desses pontos caem dentro do primeiro quadrante de um círculo unitário. A partir daí, usamos a fórmula
para aproximar
. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa gerar
pares de números aleatórios
no intervalo
. Isso significa que para cada ponto, tanto
quanto
são escolhidos aleatoriamente entre 0 e 1. Esses pontos representam coordenadas dentro de um quadrado de lado 1.
Passo 3
Agora, precisamos identificar quantos desses pontos caem dentro do primeiro quadrante de um círculo unitário. O primeiro quadrante do círculo unitário é a parte do círculo com raio 1 que está no canto superior direito do sistema de coordenadas (onde
e
).
Passo 4
Para determinar se um ponto
está dentro do círculo, usamos a equação do círculo:
. Se essa desigualdade for verdadeira, o ponto está dentro do círculo; caso contrário, está fora.
Passo 5
Contamos quantos pontos, denotados por
, satisfazem a condição
. Esse número
representa quantos pontos estão dentro do círculo.
Passo 6
A partir daí, usamos a fórmula dada para aproximar
:
Essa fórmula vem da relação entre a área do quadrado (que é 1) e a área do quarto de círculo (que é
). Multiplicando por 4, obtemos uma aproximação de
.
Passo 7
Para observar a evolução do erro, calculamos a diferença entre
e o valor real de
para diferentes valores de
. Quanto maior for
, mais pontos geramos e mais precisa será a nossa aproximação de
.
Resposta
Através desse método, ao aumentar o número de pares
, a sequência
se aproxima cada vez mais do valor real de
. O gráfico da evolução do erro mostrará essa convergência conforme
cresce.