Mostre qual é o maior e o menor número flutuante que seu computador trabalha, realmax e realmin no MatLab. Mostre qual é o epsilon de sua máquina, eps no MatLab. O que quer dizer cada um destes valores?
Avaliar o erro a expressão:
Para
, 1.e +15
. Calcule os erros absolutos e relativos. Discuta a diferença nos resultados.
Avaliar o erro a expressão:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Primeiro, precisamos identificar o maior e o menor número que o computador pode representar usando as funções para valores de
e
, calculando os erros absolutos e relativos, e discutir as diferenças nos resultados.
realmax
e realmin
no MatLab. Além disso, devemos descobrir o valor de epsilon da máquina com a função eps
. Depois, vamos avaliar o erro da expressão
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de números de ponto flutuante, precisão numérica, epsilon de máquina, e como calcular erros absolutos e relativos em cálculos computacionais.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir qual é o maior número que o computador pode representar usando .
realmax
no MatLab. realmax
retorna o maior número de ponto flutuante de precisão dupla que o MatLab pode representar, que é aproximadamente
Por outro lado, . Valores menores que isso são representados como subnormais, que têm precisão reduzida.
realmin
retorna o menor número positivo normalizado que o MatLab pode representar, que é aproximadamente
Passo 3
Agora, vamos descobrir o epsilon da máquina usando a função é diferente de 1 no sistema de ponto flutuante em uso. No MatLab, .
eps
no MatLab. O epsilon de máquina é o menor número positivo tal que
eps
para precisão dupla é aproximadamente
O epsilon de máquina nos dá uma ideia da precisão com que os números podem ser representados no sistema; valores menores que o epsilon podem não ser representados de forma precisa.
Passo 4
Agora, vamos avaliar a expressão
para
e
.
Primeiro, vamos simplificar a expressão matematicamente:
Então, teoricamente, o resultado deveria ser exatamente 1 para qualquer valor de
.
Passo 5
Vamos calcular o erro absoluto e relativo para cada valor de
.
Erro absoluto é a diferença entre o valor exato e o valor aproximado:
Erro relativo é a razão entre o erro absoluto e o valor exato:
Passo 6
Vamos calcular para
:
Calculando no MatLab:
Então:
Passo 7
Agora, para
:
Calculando no MatLab:
Então:
Passo 8
No entanto, na prática computacional, especialmente com valores muito pequenos ou muito grandes, podem ocorrer erros devido à precisão limitada dos números de ponto flutuante. Mas, para os valores específicos escolhidos aqui (
e
), não observamos erro, pois os cálculos permanecem dentro da precisão do MatLab.
Passo 9
A diferença nos resultados, caso ocorra erro, geralmente está relacionada à perda de significância ou ao estouro/underflow de números, dependendo de quão pequeno ou grande
é. Para valores muito pequenos, pode haver perda de precisão, enquanto para valores muito grandes, pode ocorrer estouro, levando a resultados imprecisos ou infinitos.
Resposta
Os maiores e menores números flutuantes que o MatLab pode representar são aproximadamente
( ( , indicando a precisão dos números de ponto flutuante no sistema. Ao avaliar a expressão
para
e
, não houve erro absoluto ou relativo, já que os resultados foram exatamente 1, dentro da precisão do MatLab.
realmax
) e
realmin
). O epsilon de máquina (eps
) é cerca de