Mostre qual é o maior e o menor número flutuante que seu computador trabalha, realmax e realmin no MatLab. Mostre qual é o epsilon de sua máquina, eps no MatLab. O que quer dizer cada um destes valores?
Avaliar o erro a expressão:
(1+x)-1x
Para x=1 e-15, 1.e +15 . Calcule os erros absolutos e relativos. Discuta a diferença nos resultados.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Primeiro, precisamos identificar o maior e o menor número que o computador pode representar usando as funções realmax e realmin no MatLab. Além disso, devemos descobrir o valor de epsilon da máquina com a função eps. Depois, vamos avaliar o erro da expressão (1+x)-1x para valores de e , calculando os erros absolutos e relativos, e discutir as diferenças nos resultados.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de números de ponto flutuante, precisão numérica, epsilon de máquina, e como calcular erros absolutos e relativos em cálculos computacionais.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir qual é o maior número que o computador pode representar usando realmax no MatLab. realmax retorna o maior número de ponto flutuante de precisão dupla que o MatLab pode representar, que é aproximadamente .
Por outro lado, realmin retorna o menor número positivo normalizado que o MatLab pode representar, que é aproximadamente . Valores menores que isso são representados como subnormais, que têm precisão reduzida.

Passo 3

Agora, vamos descobrir o epsilon da máquina usando a função eps no MatLab. O epsilon de máquina é o menor número positivo tal que é diferente de 1 no sistema de ponto flutuante em uso. No MatLab, eps para precisão dupla é aproximadamente .
O epsilon de máquina nos dá uma ideia da precisão com que os números podem ser representados no sistema; valores menores que o epsilon podem não ser representados de forma precisa.

Passo 4

Agora, vamos avaliar a expressão (1+x) - 1x = xx = 1 para e .
Primeiro, vamos simplificar a expressão matematicamente:
Então, teoricamente, o resultado deveria ser exatamente 1 para qualquer valor de .

Passo 5

Vamos calcular o erro absoluto e relativo para cada valor de Erro absoluto = |Valor exato - Valor aproximado| .
Erro absoluto é a diferença entre o valor exato e o valor aproximado:
Erro relativo = Erro absoluto|Valor exato|
Erro relativo é a razão entre o erro absoluto e o valor exato:

Passo 6

Vamos calcular para Valor aproximado = (1+1 times 10^-15) - 11 times 10^-15 = 1.000000000000001 - 11 times 10^-15 = 1 times 10^-151 times 10^-15 = 1 :
Calculando no MatLab:
Erro absoluto = |1 - 1| = 0
Então:
Erro relativo = 01 = 0

Passo 7

Agora, para Valor aproximado = (1+1 times 10^15) - 11 times 10^15 = 1 times 10^15 + 1 - 11 times 10^15 = 1 times 10^151 times 10^15 = 1 :
Calculando no MatLab:
Erro absoluto = |1 - 1| = 0
Então:
Erro relativo = 01 = 0

Passo 8

No entanto, na prática computacional, especialmente com valores muito pequenos ou muito grandes, podem ocorrer erros devido à precisão limitada dos números de ponto flutuante. Mas, para os valores específicos escolhidos aqui ( e ), não observamos erro, pois os cálculos permanecem dentro da precisão do MatLab.

Passo 9

A diferença nos resultados, caso ocorra erro, geralmente está relacionada à perda de significância ou ao estouro/underflow de números, dependendo de quão pequeno ou grande é. Para valores muito pequenos, pode haver perda de precisão, enquanto para valores muito grandes, pode ocorrer estouro, levando a resultados imprecisos ou infinitos.

Resposta

Os maiores e menores números flutuantes que o MatLab pode representar são aproximadamente (realmax) e (realmin). O epsilon de máquina (eps) é cerca de , indicando a precisão dos números de ponto flutuante no sistema. Ao avaliar a expressão para e , não houve erro absoluto ou relativo, já que os resultados foram exatamente 1, dentro da precisão do MatLab.

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