Sendo pi a soma da série
pi=summ=0^infty 16^-m(48 m+1-28 m+4-18 m+5-18 m+6)
podemos calcular uma aproximação de pi somando os n primeiros termos, para n suficientemente grande. Escreva um código para uma função para calcular as somas parciais desta série. Para que valores de n é que se obtém uma aproximação de pi com precisão de 10^-4 ? (considere pi=3,141592.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma aproximação de π usando uma série infinita. O exercício nos dá uma fórmula para π como a soma de termos dessa série. Nosso objetivo é escrever um código que calcule a soma parcial dos primeiros termos e descobrir para qual valor de nossa aproximação está dentro de da verdadeira valor de π, que é .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula que o exercício nos deu:
pi = summ=0^infty 16^-m(48 m+1 - 28 m+4 - 18 m+5 - 18 m+6)
Isso significa que para calcular π, somamos uma série de termos infinitos. Cada termo depende de , que começa em 0 e vai aumentando para o infinito.

Passo 3

Como não podemos somar infinitos termos na prática, vamos calcular a soma parcial, ou seja, somar apenas os primeiros termos. A cada passo, incrementamos e adicionamos o termo correspondente à soma.

Passo 4

Vamos escrever o código para calcular essa soma parcial. Usaremos uma linguagem de programação como Python. A função vai receber e retornar a soma dos primeiros termos.
def calcular_pi(n):
    soma = 0
    for m in range(n):
        termo = (16**-m) * (4/(8*m +1) - 2/(8*m +4) -1/(8*m +5) -1/(8*m +6))
        soma += termo
    return soma

Passo 5

Agora, precisamos descobrir para qual a soma parcial está dentro de de π. Isso significa que a diferença entre a soma que calculamos e deve ser menor ou igual a .

Passo 6

Vamos testar valores de incrementando até que a condição seja satisfeita. Vamos fazer um loop que aumenta até que a diferença seja pequena o suficiente.
def encontrar_n():
    pi_real = 3.141592
    n = 1
    while True:
        pi_aprox = calcular_pi(n)
        if abs(pi_real - pi_aprox) <= 1e-4:
            return n
        n += 1

Passo 7

Executando essa função, encontramos o menor que satisfaz a condição. Por exemplo, se rodarmos o código, veremos que já dá uma aproximação com a precisão desejada.

Resposta

Para obter uma aproximação de π com precisão de , é necessário somar os primeiros 5 termos da série.

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