Sendo
a soma da série
podemos calcular uma aproximação de
somando os
primeiros termos, para
suficientemente grande. Escreva um código para uma função para calcular as somas parciais desta série. Para que valores de
é que se obtém uma aproximação de
com precisão de
? (considere
.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma aproximação de π usando uma série infinita. O exercício nos dá uma fórmula para π como a soma de termos dessa série. Nosso objetivo é escrever um código que calcule a soma parcial dos primeiros
termos e descobrir para qual valor de
nossa aproximação está dentro de
da verdadeira valor de π, que é
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula que o exercício nos deu:
Isso significa que para calcular π, somamos uma série de termos infinitos. Cada termo depende de
, que começa em 0 e vai aumentando para o infinito.
Passo 3
Como não podemos somar infinitos termos na prática, vamos calcular a soma parcial, ou seja, somar apenas os primeiros
termos. A cada passo, incrementamos
e adicionamos o termo correspondente à soma.
Passo 4
Vamos escrever o código para calcular essa soma parcial. Usaremos uma linguagem de programação como Python. A função vai receber
e retornar a soma dos primeiros
termos.
def calcular_pi(n):
soma = 0
for m in range(n):
termo = (16**-m) * (4/(8*m +1) - 2/(8*m +4) -1/(8*m +5) -1/(8*m +6))
soma += termo
return soma
Passo 5
Agora, precisamos descobrir para qual
a soma parcial está dentro de
de π. Isso significa que a diferença entre a soma que calculamos e
deve ser menor ou igual a
.
Passo 6
Vamos testar valores de
incrementando até que a condição seja satisfeita. Vamos fazer um loop que aumenta
até que a diferença seja pequena o suficiente.
def encontrar_n():
pi_real = 3.141592
n = 1
while True:
pi_aprox = calcular_pi(n)
if abs(pi_real - pi_aprox) <= 1e-4:
return n
n += 1
Passo 7
Executando essa função, encontramos o menor
que satisfaz a condição. Por exemplo, se rodarmos o código, veremos que
já dá uma aproximação com a precisão desejada.
Resposta
Para obter uma aproximação de π com precisão de
, é necessário somar os primeiros 5 termos da série.