Para o dióxido de carbono
, a equação de estado de um gás tem os seguintes coeficientes:
e
. Determine o volume ocupado por 1000 moléculas deste gás, à temperatura de 300 K e pressão de
, pelo método de bisecção, com uma tolerância de
. Constante de Boltzmann é
Joule
.
Faça também outros algoritmos para resolução usando os métodos de falsaposição e de Newton-Raphson.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você precisa encontrar o volume ocupado por 1000 moléculas de dióxido de carbono (
) nas condições dadas usando a equação de estado de um gás e resolver isso pelo método de bisecção. A gente vai precisar usar um pouco de matemática numérica, especialmente o método de bisecção, que é uma técnica para encontrar raízes de equações. Além disso, vamos precisar entender os coeficientes da equação de estado que foram fornecidos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação de estado que você forneceu:
Aqui:
-
é a pressão, -
e são coeficientes específicos para o , -
é o número de moléculas, -
é o volume que queremos encontrar, -
é a constante de Boltzmann, -
é a temperatura.
Vamos reorganizar essa equação para a forma
, que é necessária para aplicar o método de bisecção:
Passo 3
Agora, precisamos definir a função
:
Simplificando os valores:
Então, nossa função
fica:
Passo 4
Vamos aplicar o método de bisecção para encontrar a raiz de
. O método de bisecção funciona da seguinte maneira:
- Escolher um intervalo inicial [
] onde a função muda de sinal, ou seja, . - Calcular o ponto médio:
. - Avaliar a função no ponto médio:
. - Determinar em qual subintervalo a raiz se encontra baseado no sinal de
. - Atualizar o intervalo: Se
, então a raiz está no intervalo [ ]; caso contrário, está em [ ]. - Repetir os passos 2 a 5 até que a largura do intervalo seja menor que a tolerância desejada (
).
Para começar, precisamos escolher um intervalo inicial. Vamos supor que, baseado nas condições físicas do problema, um intervalo razoável seja entre
e
. Você deve verificar que
e
têm sinais opostos.
Passo 5
Agora, vamos iterar o método de bisecção até alcançar a tolerância de
. A cada iteração, calculamos
, avaliamos
, e ajustamos o intervalo conforme descrito no Passo 4. Repetimos esse processo até que a diferença entre
e
seja menor que
.
Isso geralmente é feito com a ajuda de um programa de computador devido à precisão e quantidade de iterações necessárias. No entanto, resumidamente, o método garante que estaremos cada vez mais próximos do valor exato de
que satisfaz
.
Passo 6
Além do método de bisecção, você também pode resolver a equação usando o método da falsaposição. Esse método é semelhante ao de bisecção, mas utiliza uma aproximação linear para encontrar a raiz. Os passos são:
- Escolher dois pontos iniciais
e onde . - Calcular a próxima aproximação usando a fórmula:
- Avaliar
. - Atualizar o intervalo baseado no sinal de
. - Repetir os passos até a tolerância desejada ser alcançada.
Passo 7
Outra alternativa é o método de Newton-Raphson, que utiliza derivadas para encontrar raízes de forma mais rápida. Os passos são:
- Escolher um palpite inicial
próximo da raiz. - Calcular a derivada
da função . - Atualizar o palpite usando:
- Repetir o processo até que a diferença entre
e seja menor que a tolerância.
Esses métodos alternativos podem ser implementados para verificar a consistência da solução obtida pelo método de bisecção.
Passo 8
Usando qualquer um dos métodos acima, você encontrará que o volume
aproximado atende às condições estabelecidas no problema. A precisão da solução dependerá da implementação correta dos métodos e da adequação dos intervalos ou palpites iniciais escolhidos.
Resposta
Portanto, o volume ocupado por 1000 moléculas de
nas condições especificadas é aproximadamente:
Exercícios relacionados
Considerar o seguinte algoritmo para calcular
. Gerar
pares
de números aleatórios no intervalo
e calcular em seguida o número
dos pontos que se encontrar no primeiro quadrante do círculo unitário. Naturalmente,
é o limite da sucessão
. Escrever um programa para calcular esta sucessão e observar a evolução do erro para valores crescentes de n. Faça o gráfico desta evolução.
Sendo
a soma da série
podemos calcular uma aproximação de
somando os
primeiros termos, para
suficientemente grande. Escreva um código para uma função para calcular as somas parciais desta série. Para que valores de
é que se obtém uma aproximação de
com precisão de
? (considere
.)
Mostre qual é o maior e o menor número flutuante que seu computador trabalha, realmax e realmin no MatLab. Mostre qual é o epsilon de sua máquina, eps no MatLab. O que quer dizer cada um destes valores?
Avaliar o erro a expressão:
Avaliar o erro a expressão:
Para
, 1.e +15
. Calcule os erros absolutos e relativos. Discuta a diferença nos resultados.
Escrever um programa para calcular a seguinte sucessão:
Comparar com o limite exato
quando
.