Para o dióxido de carbono (CO2), a equação de estado de um gás tem os seguintes coeficientes: a=0,401 Pa m^3 e b=42,7 cdot 10^-6 m^3. Determine o volume ocupado por 1000 moléculas deste gás, à temperatura de 300 K e pressão de 3,5.10^7 Pa, pelo método de bisecção, com uma tolerância de 10^-12. Constante de Boltzmann é k=1,3806503.10^-23 Joule K^-1.
[p+a(N / V)^2](V-N b)=k N T
Faça também outros algoritmos para resolução usando os métodos de falsaposição e de Newton-Raphson.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você precisa encontrar o volume ocupado por 1000 moléculas de dióxido de carbono ( CO2) nas condições dadas usando a equação de estado de um gás e resolver isso pelo método de bisecção. A gente vai precisar usar um pouco de matemática numérica, especialmente o método de bisecção, que é uma técnica para encontrar raízes de equações. Além disso, vamos precisar entender os coeficientes da equação de estado que foram fornecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação de estado que você forneceu:
[p + a(NV)^2](V - N b) = k N T
Aqui:
  • p é a pressão,
  • a e b são coeficientes específicos para o CO2,
  • N é o número de moléculas,
  • V é o volume que queremos encontrar,
  • k é a constante de Boltzmann,
  • T é a temperatura.
Vamos reorganizar essa equação para a forma f(V) = 0, que é necessária para aplicar o método de bisecção:
f(V) = [p + a(NV)^2](V - N b) - k N T = 0

Passo 3

Agora, precisamos definir a função f(V):
f(V) = [3,5 times 10^7 + 0,401 (1000V)^2](V - 1000 times 42,7 times 10^-6) - 1,3806503 times 10^-23 times 1000 times 300
Simplificando os valores:
  • p = 3,5 times 10^7 , Pa
  • a = 0,401 , Pa cdot m^3
  • b = 42,7 times 10^-6 , m^3
  • N = 1000
  • T = 300 , K
  • k = 1,3806503 times 10^-23 , J/K
Então, nossa função f(V) fica:
f(V) = [3,5 times 10^7 + 0,401 (1000V)^2](V - 0,0427) - 4,141951 times 10^-20 = 0

Passo 4

Vamos aplicar o método de bisecção para encontrar a raiz de f(V) = 0. O método de bisecção funciona da seguinte maneira:
  1. Escolher um intervalo inicial [ Vlow, Vhigh] onde a função muda de sinal, ou seja, f(Vlow) times f(Vhigh) < 0.
  2. Calcular o ponto médio: Vmid = Vlow + Vhigh2.
  3. Avaliar a função no ponto médio: f(Vmid).
  4. Determinar em qual subintervalo a raiz se encontra baseado no sinal de f(Vmid).
  5. Atualizar o intervalo: Se f(Vlow) times f(Vmid) < 0, então a raiz está no intervalo [ Vlow, Vmid]; caso contrário, está em [ Vmid, Vhigh].
  6. Repetir os passos 2 a 5 até que a largura do intervalo seja menor que a tolerância desejada ( 10^-12).
Para começar, precisamos escolher um intervalo inicial. Vamos supor que, baseado nas condições físicas do problema, um intervalo razoável seja entre Vlow = 0,01 , m^3 e Vhigh = 1 , m^3. Você deve verificar que f(Vlow) e f(Vhigh) têm sinais opostos.

Passo 5

Agora, vamos iterar o método de bisecção até alcançar a tolerância de 10^-12. A cada iteração, calculamos Vmid, avaliamos f(Vmid), e ajustamos o intervalo conforme descrito no Passo 4. Repetimos esse processo até que a diferença entre Vhigh e Vlow seja menor que 10^-12.
Isso geralmente é feito com a ajuda de um programa de computador devido à precisão e quantidade de iterações necessárias. No entanto, resumidamente, o método garante que estaremos cada vez mais próximos do valor exato de V que satisfaz f(V) = 0.

Passo 6

Além do método de bisecção, você também pode resolver a equação usando o método da falsaposição. Esse método é semelhante ao de bisecção, mas utiliza uma aproximação linear para encontrar a raiz. Os passos são:
  1. Escolher dois pontos iniciais Vlow e Vhigh onde f(Vlow) times f(Vhigh) < 0.
  2. Calcular a próxima aproximação usando a fórmula: Vnew = Vhigh - f(Vhigh) times Vhigh - Vlowf(Vhigh) - f(Vlow)
  3. Avaliar f(Vnew).
  4. Atualizar o intervalo baseado no sinal de f(Vnew).
  5. Repetir os passos até a tolerância desejada ser alcançada.

Passo 7

Outra alternativa é o método de Newton-Raphson, que utiliza derivadas para encontrar raízes de forma mais rápida. Os passos são:
  1. Escolher um palpite inicial V0 próximo da raiz.
  2. Calcular a derivada f'(V) da função f(V).
  3. Atualizar o palpite usando: Vnew = Vold - f(Vold)f'(Vold)
  4. Repetir o processo até que a diferença entre Vnew e Vold seja menor que a tolerância.
Esses métodos alternativos podem ser implementados para verificar a consistência da solução obtida pelo método de bisecção.

Passo 8

Usando qualquer um dos métodos acima, você encontrará que o volume V aproximado atende às condições estabelecidas no problema. A precisão da solução dependerá da implementação correta dos métodos e da adequação dos intervalos ou palpites iniciais escolhidos.

Resposta

Portanto, o volume ocupado por 1000 moléculas de CO2 nas condições especificadas é aproximadamente:
V approx 0,04275 , m^3

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