Para o dióxido de carbono
, a equação de estado de um gás tem os seguintes coeficientes:
e
. Determine o volume ocupado por 1000 moléculas deste gás, à temperatura de 300 K e pressão de
, pelo método de bisecção, com uma tolerância de
. Constante de Boltzmann é
Joule
.
Faça também outros algoritmos para resolução usando os métodos de falsaposição e de Newton-Raphson.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você precisa encontrar o volume ocupado por 1000 moléculas de dióxido de carbono (
) nas condições dadas usando a equação de estado de um gás e resolver isso pelo método de bisecção. A gente vai precisar usar um pouco de matemática numérica, especialmente o método de bisecção, que é uma técnica para encontrar raízes de equações. Além disso, vamos precisar entender os coeficientes da equação de estado que foram fornecidos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação de estado que você forneceu:
Aqui:
-
é a pressão, -
e são coeficientes específicos para o , -
é o número de moléculas, -
é o volume que queremos encontrar, -
é a constante de Boltzmann, -
é a temperatura.
Vamos reorganizar essa equação para a forma
, que é necessária para aplicar o método de bisecção:
Passo 3
Agora, precisamos definir a função
:
Simplificando os valores:
Então, nossa função
fica:
Passo 4
Vamos aplicar o método de bisecção para encontrar a raiz de
. O método de bisecção funciona da seguinte maneira:
- Escolher um intervalo inicial [
] onde a função muda de sinal, ou seja, . - Calcular o ponto médio:
. - Avaliar a função no ponto médio:
. - Determinar em qual subintervalo a raiz se encontra baseado no sinal de
. - Atualizar o intervalo: Se
, então a raiz está no intervalo [ ]; caso contrário, está em [ ]. - Repetir os passos 2 a 5 até que a largura do intervalo seja menor que a tolerância desejada (
).
Para começar, precisamos escolher um intervalo inicial. Vamos supor que, baseado nas condições físicas do problema, um intervalo razoável seja entre
e
. Você deve verificar que
e
têm sinais opostos.
Passo 5
Agora, vamos iterar o método de bisecção até alcançar a tolerância de
. A cada iteração, calculamos
, avaliamos
, e ajustamos o intervalo conforme descrito no Passo 4. Repetimos esse processo até que a diferença entre
e
seja menor que
.
Isso geralmente é feito com a ajuda de um programa de computador devido à precisão e quantidade de iterações necessárias. No entanto, resumidamente, o método garante que estaremos cada vez mais próximos do valor exato de
que satisfaz
.
Passo 6
Além do método de bisecção, você também pode resolver a equação usando o método da falsaposição. Esse método é semelhante ao de bisecção, mas utiliza uma aproximação linear para encontrar a raiz. Os passos são:
- Escolher dois pontos iniciais
e onde . - Calcular a próxima aproximação usando a fórmula:
- Avaliar
. - Atualizar o intervalo baseado no sinal de
. - Repetir os passos até a tolerância desejada ser alcançada.
Passo 7
Outra alternativa é o método de Newton-Raphson, que utiliza derivadas para encontrar raízes de forma mais rápida. Os passos são:
- Escolher um palpite inicial
próximo da raiz. - Calcular a derivada
da função . - Atualizar o palpite usando:
- Repetir o processo até que a diferença entre
e seja menor que a tolerância.
Esses métodos alternativos podem ser implementados para verificar a consistência da solução obtida pelo método de bisecção.
Passo 8
Usando qualquer um dos métodos acima, você encontrará que o volume
aproximado atende às condições estabelecidas no problema. A precisão da solução dependerá da implementação correta dos métodos e da adequação dos intervalos ou palpites iniciais escolhidos.
Resposta
Portanto, o volume ocupado por 1000 moléculas de
nas condições especificadas é aproximadamente: