Considerarndo que o par de funções fornecido são soluções da mesma E.D.O. linear homogênea de 2a Ordem, calcule o wronskiano.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o wronskiano das funções
e
. O wronskiano é uma ferramenta usada em equações diferenciais para verificar se duas soluções são linearmente independentes. Para isso, vamos precisar derivar as funções e aplicar a fórmula do wronskiano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a derivada das funções que temos:
- A derivada de
é . - A derivada de
é .
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a fórmula do wronskiano. O wronskiano
de duas funções
e
é dado por:
Substituindo as funções e suas derivadas que calculamos:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão:
E sabemos que
(identidade trigonométrica fundamental).
Resposta
O wronskiano das funções
e
é
.
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para os quais a equação diferencial dada tem solução da forma
.