Encontre a solução geral das E.D.Os abaixo utiliza o métodos dos coeficientes indeterminados:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária (E.D.O) dada:
Aqui estamos lidando com uma E.D.O linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos usar o método dos coeficientes indeterminados. Precisamos encontrar a solução geral, que será a soma da solução da equação homogênea e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, montamos a equação característica substituindo
por
:
Passo 3
Vamos resolver a equação característica:
Calculando o discriminante (
):
Como o discriminante é zero, temos duas raízes reais iguais:
Passo 4
Com a raiz dupla
, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes arbitrárias que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
O lado direito é da forma
, onde
e
. Usamos o método dos coeficientes indeterminados assumindo uma solução particular da forma:
Passo 6
Antes de prosseguir, precisamos verificar se a função
já está presente na solução homogênea. Observando
, que é
multiplicado por polinômios, não há termos com
, então podemos seguir com nossa hipótese para
sem precisar multiplicar por
.
Passo 7
Vamos derivar
para substituir na equação original:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Parece que houve um erro nas derivadas. Vamos recalcular:
Primeira derivada correta:
Segunda derivada correta:
Hmmm, isso indica que nossa hipótese está incorreta. Parece que a função assumida anula as derivadas. Precisamos ajustar nossa hipótese.
Passo 8
Como a nossa primeira tentativa de solução particular resultou em zero, precisamos multiplicar nossa hipótese por
para obter uma solução independente. Assim, tentamos:
Passo 9
Vamos derivar essa nova hipótese:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Calculando a segunda derivada de forma semelhante, substituímos na equação original e igualamos os coeficientes para encontrar
e
.
Passo 10
Após substituir
,
e
na equação original e resolver para
e
, encontramos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Considerarndo que o par de funções fornecido são soluções da mesma E.D.O. linear homogênea de 2a Ordem, calcule o wronskiano.
Resolva o problema de valor inicial
Determine os valores de
para os quais a equação diferencial dada tem solução da forma
.
Encontre a solução geral das E.D.Os (Utilize o método da variação dos parâmetros)