Encontre a solução geral das E.D.Os abaixo utiliza o métodos dos coeficientes indeterminados:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária (E.D.O) dada:
Aqui estamos lidando com uma E.D.O linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos usar o método dos coeficientes indeterminados. Precisamos encontrar a solução geral, que será a soma da solução da equação homogênea e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, montamos a equação característica substituindo por :

Passo 3

Vamos resolver a equação característica:
Calculando o discriminante ( ):
Como o discriminante é zero, temos duas raízes reais iguais:

Passo 4

Com a raiz dupla , a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes arbitrárias que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
O lado direito é da forma , onde e . Usamos o método dos coeficientes indeterminados assumindo uma solução particular da forma:

Passo 6

Antes de prosseguir, precisamos verificar se a função já está presente na solução homogênea. Observando , que é multiplicado por polinômios, não há termos com , então podemos seguir com nossa hipótese para sem precisar multiplicar por .

Passo 7

Vamos derivar para substituir na equação original:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Parece que houve um erro nas derivadas. Vamos recalcular:
Primeira derivada correta:
Segunda derivada correta:
Hmmm, isso indica que nossa hipótese está incorreta. Parece que a função assumida anula as derivadas. Precisamos ajustar nossa hipótese.

Passo 8

Como a nossa primeira tentativa de solução particular resultou em zero, precisamos multiplicar nossa hipótese por para obter uma solução independente. Assim, tentamos:

Passo 9

Vamos derivar essa nova hipótese:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Calculando a segunda derivada de forma semelhante, substituímos na equação original e igualamos os coeficientes para encontrar e .

Passo 10

Após substituir , e na equação original e resolver para e , encontramos:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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