Considere f(x) = (1/3) x^3 + x^2 ln(x) e seja P2(x) o polinômio de Taylor de grau 2 com x0 = 1.
a. Encontre um limitante para o erro |f(1.25) - P2(1.25)| usando a fórmula do resto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos a função e queremos encontrar um limitante para o erro entre o valor de e o polinômio de Taylor de grau 2 em torno de , que chamaremos de . Para isso, vamos usar a fórmula do resto na série de Taylor.

Passo 2

Para aplicar a fórmula do resto, precisamos primeiro lembrar como ela funciona. O erro ao aproximar uma função pela série de Taylor de grau em é dado por:
onde é o valor máximo da -ésima derivada de no intervalo entre e .

Passo 3

Como estamos lidando com um polinômio de grau 2 ( ), precisamos calcular a terceira derivada de . Vamos começar encontrando as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:

Passo 4

Agora, precisamos determinar , que é o valor máximo de no intervalo entre e . Observando a terceira derivada:
Como é uma função decrescente para , o valor máximo ocorre quando é mínimo no intervalo, ou seja, em :

Passo 5

Com , podemos agora aplicar a fórmula do resto para encontrar o limitante do erro:
Calculando os valores:
Então:

Resposta

O erro é limitado por aproximadamente .

Exercícios relacionados