Considere
e seja
o polinômio de Taylor de grau 2 com
.
a. Encontre um limitante para o erro
usando a fórmula do resto.
a. Encontre um limitante para o erro
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos a função
e queremos encontrar um limitante para o erro entre o valor de
e o polinômio de Taylor de grau 2 em torno de
, que chamaremos de
. Para isso, vamos usar a fórmula do resto na série de Taylor.
Passo 2
Para aplicar a fórmula do resto, precisamos primeiro lembrar como ela funciona. O erro
ao aproximar uma função pela série de Taylor de grau
em
é dado por:
onde
é o valor máximo da
-ésima derivada de
no intervalo entre
e
.
Passo 3
Como estamos lidando com um polinômio de grau 2 (
), precisamos calcular a terceira derivada de
. Vamos começar encontrando as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
Passo 4
Agora, precisamos determinar
, que é o valor máximo de
no intervalo entre
e
. Observando a terceira derivada:
Como
é uma função decrescente para
, o valor máximo ocorre quando
é mínimo no intervalo, ou seja, em
:
Passo 5
Com
, podemos agora aplicar a fórmula do resto para encontrar o limitante do erro:
Calculando os valores:
Então:
Resposta
O erro
é limitado por aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Escreva a resposta final de cada item usando ponto flutuante com quatro dígitos. (a) Arredonde o número
,
, usando quatro dígitos e encontre o erro absoluto e o erro relativo.
Neste exercício vamos resolver a equação diferencial
usando a mudança de variável
.
Use o item acima para verificar que a solução satisfaz
Use o item acima para verificar que a solução
onde
é uma constante.
(a) Esboce o gráfico da função
no intervalo
marcando as coordenadas cartesianas dos pontos de máximo e mínimo local quando houverem.
Encontre os valores de
(a) .
no qual .
(a)
no qual