Encontre os valores de
(a) max_{x in [0,2]} |f'(x)|.
no qual f(x) = e^(-x^2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o máximo de no intervalo de , onde . Aqui, a gente vai usar cálculo, especificamente derivadas, para resolver essa parada.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar a derivada de f(x). Vamos calcular f'(x).
Sabemos que a derivada de em relação a x é , onde u é uma função de x. No nosso caso, .
Então,

Passo 3

Agora, vamos pegar o valor absoluto da derivada que encontramos:
Como x está no intervalo [0,2] e e^(-x^2) é sempre positivo, não precisamos nos preocupar com o sinal de x.

Passo 4

Queremos encontrar o valor máximo de no intervalo [0,2]. Para isso, vamos analisar onde essa função atinge seus pontos de máximo. A estratégia é encontrar onde a derivada dessa função é zero ou está nos extremos do intervalo.

Passo 5

Vamos chamar nossa função de y:
Vamos calcular a derivada de y em relação a x:

Passo 6

Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Como e^(-x^2) nunca é zero, temos:

Passo 7

Agora, vamos avaliar nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo [0,2]:
  • Em x = 0:
  • Em :
  • Em x = 2:

Passo 8

Vamos comparar os valores obtidos:
  • Em x = 0: 0.
  • Em : .
  • Em x = 2: .
O maior valor é .

Resposta

O valor máximo de no intervalo [0,2] é .

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