Neste exercício vamos resolver a equação diferencial
(x+y)-(x-y) dy/dx=0
usando a mudança de variável v(x) = y(x) / x.
Use o item acima para verificar que a solução y(x) satisfaz
arctan(y/x) - 1/2 ln(1 + y^2/x^2) = ln(x) + c1
onde c1 é uma constante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que está assim:
A gente vai usar uma técnica chamada substituição de variável. Especificamente, vamos definir uma nova variável . Isso nos ajuda a simplificar a equação e encontrar uma solução mais fácil. Para resolver isso, precisamos entender um pouco sobre equações diferenciais e como fazer mudanças de variável.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição sugerida: . Então, .
Agora, vamos achar a derivada de em relação a :

Passo 3

Vamos substituir e na equação original:
Substituindo :
Simplificando os termos:

Passo 4

Vamos dividir tudo por para simplificar:
Agora, vamos distribuir :
Simplificando:
O e se cancelam:

Passo 5

Vamos isolar o termo com a derivada:
Agora, vamos separar as variáveis e :

Passo 6

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação:
Vamos resolver a integral do lado esquerdo:
A primeira integral é e a segunda é . Assim:

Passo 7

Lembrando que , substituímos de volta:
Podemos escrever como para representar a constante de integração:

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada é:
onde é uma constante de integração.

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