Neste exercício vamos resolver a equação diferencial
usando a mudança de variável
.
Use o item acima para verificar que a solução
satisfaz
onde
é uma constante.
Use o item acima para verificar que a solução
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que está assim:
A gente vai usar uma técnica chamada substituição de variável. Especificamente, vamos definir uma nova variável
. Isso nos ajuda a simplificar a equação e encontrar uma solução mais fácil. Para resolver isso, precisamos entender um pouco sobre equações diferenciais e como fazer mudanças de variável.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a substituição sugerida:
. Então,
.
Agora, vamos achar a derivada de
em relação a
:
Passo 3
Vamos substituir
e
na equação original:
Substituindo
:
Simplificando os termos:
Passo 4
Vamos dividir tudo por
para simplificar:
Agora, vamos distribuir
:
Simplificando:
O
e
se cancelam:
Passo 5
Vamos isolar o termo com a derivada:
Agora, vamos separar as variáveis
e
:
Passo 6
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação:
Vamos resolver a integral do lado esquerdo:
A primeira integral é
e a segunda é
. Assim:
Passo 7
Lembrando que
, substituímos de volta:
Podemos escrever
como
para representar a constante de integração:
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada é:
onde
é uma constante de integração.
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Escreva a resposta final de cada item usando ponto flutuante com quatro dígitos. (a) Arredonde o número
,
, usando quatro dígitos e encontre o erro absoluto e o erro relativo.
Considere
e seja
o polinômio de Taylor de grau 2 com
.
a. Encontre um limitante para o erro usando a fórmula do resto.
a. Encontre um limitante para o erro