(a) Esboce o gráfico da função
no intervalo
marcando as coordenadas cartesianas dos pontos de máximo e mínimo local quando houverem.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente precisa desenhar o gráfico da função
no intervalo de
entre -1 e 1. Além disso, temos que marcar os pontos de máximo e mínimo local, se eles existirem. Para fazer isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar esses pontos extremos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação da função em relação a
. Em outras palavras, ela nos indica como a função está crescendo ou diminuindo em cada ponto. Para encontrar os pontos de máximo e mínimo, precisamos calcular a derivada da função
.
A derivada de
é:
Passo 3
Agora que temos a derivada, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos são onde a derivada é igual a zero ou não existe. Esses pontos podem ser candidatos a máximos ou mínimos locais.
Vamos resolver
:
Então, temos dois pontos críticos:
e
.
Passo 4
Para determinar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos, vamos usar a segunda derivada. A segunda derivada nos diz se a função está concava para cima ou para baixo nesse ponto, o que indica se é um mínimo ou máximo.
Calculemos a segunda derivada:
Agora, avaliamos
nos pontos críticos:
- Para
:
Como a segunda derivada é positiva, isso indica que a função é côncava para cima nesse ponto, ou seja, é um mínimo local.
- Para
:
Como a segunda derivada é negativa, a função é côncava para baixo, indicando um máximo local.
Passo 5
Agora, vamos encontrar as coordenadas exatas desses pontos de máximo e mínimo substituindo os valores de
na função original.
- Para
:
Então, o ponto mínimo é aproximadamente
.
- Para
:
Então, o ponto máximo é aproximadamente
.
Passo 6
Além dos pontos críticos, também é bom verificar os valores da função nas extremidades do intervalo para ter uma ideia completa do gráfico.
- Para
:
- Para
:
Com esses pontos, podemos esboçar o gráfico da função no intervalo
, marcando os pontos de máximo e mínimo que encontramos.
Resposta
O gráfico da função
no intervalo
apresenta um máximo local em
e um mínimo local em
. Além disso, na extremidade esquerda do intervalo,
, o valor da função é -1, e na extremidade direita,
, o valor é 3. Com esses pontos, podemos desenhar o esboço do gráfico, indicando claramente os pontos de máximo e mínimo local.
Exercícios relacionados
Considere
e seja
o polinômio de Taylor de grau 2 com
.
a. Encontre um limitante para o erro usando a fórmula do resto.
a. Encontre um limitante para o erro
Escreva a resposta final de cada item usando ponto flutuante com quatro dígitos. (a) Arredonde o número
,
, usando quatro dígitos e encontre o erro absoluto e o erro relativo.
Encontre os valores de
(a) .
no qual .
(a)
no qual
(b) Arredonde o número
para quatro dígitos e encontre o erro absoluto e o erro relativo.