(a) Esboce o gráfico da função no intervalo marcando as coordenadas cartesianas dos pontos de máximo e mínimo local quando houverem.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente precisa desenhar o gráfico da função no intervalo de entre -1 e 1. Além disso, temos que marcar os pontos de máximo e mínimo local, se eles existirem. Para fazer isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar esses pontos extremos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação da função em relação a . Em outras palavras, ela nos indica como a função está crescendo ou diminuindo em cada ponto. Para encontrar os pontos de máximo e mínimo, precisamos calcular a derivada da função .
A derivada de é:

Passo 3

Agora que temos a derivada, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos são onde a derivada é igual a zero ou não existe. Esses pontos podem ser candidatos a máximos ou mínimos locais.
Vamos resolver :
Então, temos dois pontos críticos: e .

Passo 4

Para determinar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos, vamos usar a segunda derivada. A segunda derivada nos diz se a função está concava para cima ou para baixo nesse ponto, o que indica se é um mínimo ou máximo.
Calculemos a segunda derivada:
Agora, avaliamos nos pontos críticos:
  • Para :
Como a segunda derivada é positiva, isso indica que a função é côncava para cima nesse ponto, ou seja, é um mínimo local.
  • Para :
Como a segunda derivada é negativa, a função é côncava para baixo, indicando um máximo local.

Passo 5

Agora, vamos encontrar as coordenadas exatas desses pontos de máximo e mínimo substituindo os valores de na função original.
  • Para :
Então, o ponto mínimo é aproximadamente .
  • Para :
Então, o ponto máximo é aproximadamente .

Passo 6

Além dos pontos críticos, também é bom verificar os valores da função nas extremidades do intervalo para ter uma ideia completa do gráfico.
  • Para :
  • Para :
Com esses pontos, podemos esboçar o gráfico da função no intervalo , marcando os pontos de máximo e mínimo que encontramos.

Resposta

O gráfico da função no intervalo apresenta um máximo local em e um mínimo local em . Além disso, na extremidade esquerda do intervalo, , o valor da função é -1, e na extremidade direita, , o valor é 3. Com esses pontos, podemos desenhar o esboço do gráfico, indicando claramente os pontos de máximo e mínimo local.

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Considere e seja o polinômio de Taylor de grau 2 com .
a. Encontre um limitante para o erro usando a fórmula do resto.
Escreva a resposta final de cada item usando ponto flutuante com quatro dígitos. (a) Arredonde o número , , usando quatro dígitos e encontre o erro absoluto e o erro relativo.
Encontre os valores de
(a) .
no qual .
(b) Arredonde o número para quatro dígitos e encontre o erro absoluto e o erro relativo.