Em , considere .
© Se , quais são as suas coordenadas em relação à base canônica?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma base em três dimensões, com três vetores específicos. Temos também um vetor dado nas coordenadas dessa base . Nosso objetivo é encontrar as coordenadas desse vetor na base canônica, que é a base padrão que usamos normalmente em . Para isso, vamos precisar entender como converter coordenadas de uma base para outra usando matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma base em . Uma base é um conjunto de três vetores que são linearmente independentes e que conseguem representar qualquer vetor no espaço através de combinações lineares deles. Aqui, a base é formada pelos vetores:
Esses vetores formam uma base ortonormal, o que facilita nossos cálculos.

Passo 3

Agora, sabemos que o vetor está escrito nas coordenadas da base , ou seja:
Isso significa que:
Nosso objetivo é expressar na base canônica, que é formada pelos vetores unitários , e .

Passo 4

Para fazer essa conversão, vamos somar as componentes dos vetores da base multiplicados pelos coeficientes dados:
Substituindo os valores dos vetores , e :

Passo 5

Agora, vamos fazer as multiplicações:

Passo 6

Agora, vamos somar esses resultados componente a componente:
Primeira componente:
Segunda componente:
Terceira componente:

Passo 7

Assim, as coordenadas do vetor na base canônica são:

Resposta

As coordenadas de na base canônica são .

Exercícios relacionados

Verifique se as transformações abaixo são lineares:
Responda as seguintes questões, justificando sua resposta com argumentos consistentes:
Se é uma transformação linear, podemos ter ?
Seja a base canônica de . Se é dada por
Determine e .
Verifique se as transformações abaixo são lineares: , onde é um elemento fixo de