Em
, considere
.
© Se
, quais são as suas coordenadas em relação à base canônica?
© Se
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma base
em três dimensões, com três vetores específicos. Temos também um vetor
dado nas coordenadas dessa base
. Nosso objetivo é encontrar as coordenadas desse vetor
na base canônica, que é a base padrão que usamos normalmente em
. Para isso, vamos precisar entender como converter coordenadas de uma base para outra usando matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma base em
. Uma base é um conjunto de três vetores que são linearmente independentes e que conseguem representar qualquer vetor no espaço através de combinações lineares deles. Aqui, a base
é formada pelos vetores:
Esses vetores formam uma base ortonormal, o que facilita nossos cálculos.
Passo 3
Agora, sabemos que o vetor
está escrito nas coordenadas da base
, ou seja:
Isso significa que:
Nosso objetivo é expressar
na base canônica, que é formada pelos vetores unitários
,
e
.
Passo 4
Para fazer essa conversão, vamos somar as componentes dos vetores da base
multiplicados pelos coeficientes dados:
Substituindo os valores dos vetores
,
e
:
Passo 5
Agora, vamos fazer as multiplicações:
Passo 6
Agora, vamos somar esses resultados componente a componente:
Primeira componente:
Segunda componente:
Terceira componente:
Passo 7
Assim, as coordenadas do vetor
na base canônica são:
Resposta
As coordenadas de
na base canônica são
.
Exercícios relacionados
Verifique se as transformações abaixo são lineares:
Responda as seguintes questões, justificando sua resposta com argumentos consistentes:
Se é uma transformação linear, podemos ter
?
Se
Seja
a base canônica de
. Se
é dada por
Determine
e
.
Verifique se as transformações abaixo são lineares:
, onde
é um elemento fixo de