Em R^3, considere B=(1raiz6,-1raiz2, 1raiz3),(1raiz6, 1raiz2, 1raiz3),(-2raiz6, 0, 1raiz3).
© Se v=(-5,-4,12)B, quais são as suas coordenadas em relação à base canônica?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma base em três dimensões, com três vetores específicos. Temos também um vetor dado nas coordenadas dessa base . Nosso objetivo é encontrar as coordenadas desse vetor na base canônica, que é a base padrão que usamos normalmente em . Para isso, vamos precisar entender como converter coordenadas de uma base para outra usando matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma base em b1 = ( 1raiz6, -1raiz2, 1raiz3 ), b2 = ( 1raiz6, 1raiz2, 1raiz3 ), b3 = ( -2raiz6, 0, 1raiz3 ) . Uma base é um conjunto de três vetores que são linearmente independentes e que conseguem representar qualquer vetor no espaço através de combinações lineares deles. Aqui, a base é formada pelos vetores:
Esses vetores formam uma base ortonormal, o que facilita nossos cálculos.

Passo 3

Agora, sabemos que o vetor v = (-5, -4, 12)B está escrito nas coordenadas da base v = -5b1 - 4b2 + 12b3 , ou seja:
Isso significa que:
Nosso objetivo é expressar na base canônica, que é formada pelos vetores unitários , e .

Passo 4

Para fazer essa conversão, vamos somar as componentes dos vetores da base v = -5b1 - 4b2 + 12b3 multiplicados pelos coeficientes dados:
v = -5 ( 1raiz6, -1raiz2, 1raiz3 ) - 4 ( 1raiz6, 1raiz2, 1raiz3 ) + 12 ( -2raiz6, 0, 1raiz3 )
Substituindo os valores dos vetores , e :

Passo 5

Agora, vamos fazer as multiplicações:
-5b1 = ( -5raiz6, 5raiz2, -5raiz3 )
-4b2 = ( -4raiz6, -4raiz2, -4raiz3 )
12b3 = ( -24raiz6, 0, 12raiz3 )

Passo 6

Agora, vamos somar esses resultados componente a componente:
Primeira componente:
-5raiz6 + -4raiz6 + -24raiz6 = -33raiz6
Segunda componente:
5raiz2 + -4raiz2 + 0 = 1raiz2
Terceira componente:
-5raiz3 + -4raiz3 + 12raiz3 = 3raiz3 = raiz3

Passo 7

Assim, as coordenadas do vetor v = ( -33raiz6, 1raiz2, raiz3 ) na base canônica são:

Resposta

As coordenadas de na base canônica são .

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