, considere
.
(a) B é uma base ortonormal? Por quê?
(a) B é uma base ortonormal? Por quê?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto de três vetores em
chamado
. A pergunta é: será que esses vetores formam uma base ortonormal? Para descobrir isso, a gente vai precisar saber o que significa um conjunto ser ortonormal e verificar se os vetores em
atendem a esses critérios.
Passo 2
Primeiro, o que é uma base ortonormal? Basicamente, uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e geram todo o espaço
. E ortonormal quer dizer que:
- Ortogonais: Todos os vetores são perpendiculares entre si, ou seja, o produto interno (ou “dot product”) entre quaisquer dois vetores diferentes é zero.
- Normais: Cada vetor tem magnitude igual a 1, ou seja, são vetores unitários.
Então, pra
ser uma base ortonormal, precisamos verificar se:
- Cada vetor em
tem norma 1. - Todos os pares de vetores em
são ortogonais entre si.
Passo 3
Vamos começar verificando se cada vetor em
é um vetor unitário.
Temos
, onde:
A norma de um vetor
é dada por:
Vamos calcular a norma de cada vetor:
Para
:
Unificando os denominadores:
Para
:
Para
:
Então, todos os vetores têm norma igual a 1. ✅
Passo 4
Agora, vamos verificar se os vetores são mutuamente ortogonais, ou seja, se o produto interno entre quaisquer dois vetores diferentes é zero.
O produto interno entre dois vetores
e
é dado por:
Vamos calcular:
Entre
e
:
Entre
e
:
Entre
e
:
Então, todos os pares de vetores têm produto interno igual a zero, ou seja, são ortogonais entre si. ✅
Resposta
Sim, o conjunto
é uma base ortonormal porque todos os vetores têm norma igual a 1 e são mutuamente ortogonais.