Em R^3, considere B=(1raiz6,-1raiz2, 1raiz3),(1raiz6, 1raiz2, 1raiz3),(-2raiz6, 0, 1raiz3).
(a) B é uma base ortonormal? Por quê?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto de três vetores em chamado . A pergunta é: será que esses vetores formam uma base ortonormal? Para descobrir isso, a gente vai precisar saber o que significa um conjunto ser ortonormal e verificar se os vetores em atendem a esses critérios.

Passo 2

Primeiro, o que é uma base ortonormal? Basicamente, uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e geram todo o espaço . E ortonormal quer dizer que:
  1. Ortogonais: Todos os vetores são perpendiculares entre si, ou seja, o produto interno (ou “dot product”) entre quaisquer dois vetores diferentes é zero.
  2. Normais: Cada vetor tem magnitude igual a 1, ou seja, são vetores unitários.
Então, pra ser uma base ortonormal, precisamos verificar se:
  • Cada vetor em tem norma 1.
  • Todos os pares de vetores em são ortogonais entre si.

Passo 3

Vamos começar verificando se cada vetor em v1 = (1raiz6, -1raiz2, 1raiz3) é um vetor unitário.
Temos v2 = (1raiz6, 1raiz2, 1raiz3) , onde:
v3 = (-2raiz6, 0, 1raiz3)
|v| = raizv1^2 + v2^2 + v3^2
|v1| = raiz(1raiz6)^2 + (-1raiz2)^2 + (1raiz3)^2 = raiz16 + 12 + 13
A norma de um vetor raiz16 + 36 + 26 = raiz66 = raiz1 = 1 é dada por:
|v2| = raiz(1raiz6)^2 + (1raiz2)^2 + (1raiz3)^2 = raiz16 + 12 + 13 = 1
Vamos calcular a norma de cada vetor:
Para |v3| = raiz(-2raiz6)^2 + 0^2 + (1raiz3)^2 = raiz46 + 0 + 13 = raiz46 + 26 = raiz66 = 1 :
Unificando os denominadores:
Para :
Para :
Então, todos os vetores têm norma igual a 1. ✅

Passo 4

Agora, vamos verificar se os vetores são mutuamente ortogonais, ou seja, se o produto interno entre quaisquer dois vetores diferentes é zero.
O produto interno entre dois vetores u cdot v = u1v1 + u2v2 + u3v3 e v1 cdot v2 = (1raiz6)(1raiz6) + (-1raiz2)(1raiz2) + (1raiz3)(1raiz3) é dado por:
= 16 - 12 + 13 = 1 - 3 + 26 = 06 = 0
Vamos calcular:
Entre v1 cdot v3 = (1raiz6)(-2raiz6) + (-1raiz2)(0) + (1raiz3)(1raiz3) e = -26 + 0 + 13 = -13 + 13 = 0 :
v2 cdot v3 = (1raiz6)(-2raiz6) + (1raiz2)(0) + (1raiz3)(1raiz3)
= -26 + 0 + 13 = -13 + 13 = 0
Entre e :
Entre e :
Então, todos os pares de vetores têm produto interno igual a zero, ou seja, são ortogonais entre si. ✅

Resposta

Sim, o conjunto é uma base ortonormal porque todos os vetores têm norma igual a 1 e são mutuamente ortogonais.

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