Sejam f, g:[a, b] R duas funções de classe C^1 tais que, para todo x em [a, b], f(x)< g(x). Seja B o conjunto de todos (x, y) tais que f(x) <= y <= g(x), a <= x <= b. Seja gamma a fronteira de B orientada no sentido anti-horario. Prove que
integralgamma P d x=integral duplaB-partial Ppartial y d x d y
onde P é suposta C^1 em um aberto que contém B.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar uma igualdade envolvendo uma integral de linha sobre uma curva gamma e uma integral dupla sobre um conjunto B. Isso está no âmbito do Cálculo Multivariável, mais especificamente relacionado ao Teorema de Green. Para resolver, vamos precisar entender o que cada parte representa e como aplicar o teorema para conectar essas integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o conjunto B. Ele é definido como todos os pontos (x, y) onde y está entre f(x) e g(x), e x está entre a e b. Geometricamente, isso representa uma região no plano xy limitada pelas curvas y = f(x) e y = g(x), entre x = a e x = b.

Passo 3

A curva gamma é a fronteira dessa região B orientada no sentido anti-horário. Isso significa que, se imaginarmos percorrer a fronteira de B, estaremos sempre mantendo B à nossa esquerda. Essa orientação é importante para aplicar corretamente o Teorema de Green.

Passo 4

O Teorema de Green relaciona uma integral de linha ao longo da fronteira de uma região com uma integral dupla sobre a própria região. A forma geral do teorema é:
ointgamma (P, dx + Q, dy) = integral duplaB ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
No nosso caso, a integral de linha é apenas integralgamma P, dx, o que significa que Q = 0.

Passo 5

Substituindo Q = 0 na fórmula do Teorema de Green, temos:
ointgamma P, dx = integral duplaB ( 0 - partial Ppartial y ) dA = integral duplaB -partial Ppartial y , dx, dy
Isso é exatamente o que o exercício quer que a gente prove.

Resposta

Portanto, aplicando o Teorema de Green com Q = 0, concluímos que
integralgamma P, dx = integral duplaB -partial Ppartial y , dx, dy

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