Sejam
duas funções de classe
tais que, para todo
em
. Seja
o conjunto de todos
tais que
. Seja
a fronteira de
orientada no sentido anti-horario. Prove que
onde
é suposta
em um aberto que contém
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar uma igualdade envolvendo uma integral de linha sobre uma curva
e uma integral dupla sobre um conjunto
. Isso está no âmbito do Cálculo Multivariável, mais especificamente relacionado ao Teorema de Green. Para resolver, vamos precisar entender o que cada parte representa e como aplicar o teorema para conectar essas integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o conjunto
. Ele é definido como todos os pontos
onde
está entre
e
, e
está entre
e
. Geometricamente, isso representa uma região no plano
limitada pelas curvas
e
, entre
e
.
Passo 3
A curva
é a fronteira dessa região
orientada no sentido anti-horário. Isso significa que, se imaginarmos percorrer a fronteira de
, estaremos sempre mantendo
à nossa esquerda. Essa orientação é importante para aplicar corretamente o Teorema de Green.
Passo 4
O Teorema de Green relaciona uma integral de linha ao longo da fronteira de uma região com uma integral dupla sobre a própria região. A forma geral do teorema é:
No nosso caso, a integral de linha é apenas
, o que significa que
.
Passo 5
Substituindo
na fórmula do Teorema de Green, temos:
Isso é exatamente o que o exercício quer que a gente prove.
Resposta
Portanto, aplicando o Teorema de Green com
, concluímos que