Sejam u=(1,1,1)C e v=(1, ldots, 1)C.
(a) Preencha as coordenadas de v de modo que os vetores u e v sejam ortogonais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores nesse exercício: e . O objetivo aqui é descobrir quais coordenadas a gente precisa colocar em para que ele seja ortogonal ao . Para resolver isso, vamos usar o conceito de produto escalar e a condição de ortogonalidade entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa dois vetores serem ortogonais. Dois vetores são ortogonais quando o produto escalar entre eles é igual a zero. O produto escalar ( u cdot v = u1v1 + u2v2 + u3v3 ) entre dois vetores e é calculado assim:

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso aos nossos vetores. Sabemos que u cdot v = 1 cdot 1 + 1 cdot y + 1 cdot z = 1 + y + z e (onde precisamos encontrar os valores de e ). Vamos calcular o produto escalar:

Passo 4

Como queremos que 1 + y + z = 0 e sejam ortogonais, o produto escalar precisa ser zero:

Passo 5

Agora, temos uma equação com duas incógnitas ( 1 + 1 + z = 0 implies z = -2 e ). Isso significa que existem infinitas soluções possíveis. Para simplificar, podemos escolher um valor para uma das variáveis e resolver para a outra. Por exemplo, se escolhermos , então:
Então, uma possível coordenada para seria .

Resposta

Uma das possíveis coordenadas para são , de modo que e sejam ortogonais.

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