Considere z = x * y^2 + e^(2 * x), com x = ln(t) e y = 1 + t^2.
Obtenha d z / d t derivando a expressão obtida.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função , onde e . O que a gente precisa fazer é encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Para isso, vamos usar a regra da cadeia e derivadas de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar totalmente em função de . Sabemos que e . Substituindo esses valores na expressão de , temos:

Passo 3

Simplificando a expressão , lembrando que , temos:
Então, a expressão de fica:

Passo 4

Agora, vamos derivar em relação a . Vamos derivar cada termo separadamente.
Derivando o primeiro termo , usamos a regra do produto:
Calculando as derivadas:
Então:
Derivando o segundo termo :

Passo 5

Agora, juntando tudo, temos:

Resposta

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