Use diferenciação implícita para determinar partial zpartial x e partial zpartial y : x y z=cos (x+y+z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar diferenciação implícita para encontrar as derivadas parciais de em relação a e , ou seja, e . A equação que temos é . Vamos precisar aplicar a regra da cadeia e tratar como uma função que depende de e .

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a x y z = cos(x + y + z) . Lembre-se que ddx(x y z) = ddx[cos(x + y + z)] é tratada como uma constante quando diferenciamos em relação a .
A equação original é:
Derivando em relação a :

Passo 3

Vamos diferenciar o lado esquerdo:
ddx(x y z)
Usando a regra do produto, temos:
y z + x y partial zpartial x

Passo 4

Agora, diferenciamos o lado direito:
ddx[cos(x + y + z)]
Aplicando a regra da cadeia:
-sin(x + y + z) (1 + partial zpartial x)

Passo 5

Agora, igualamos as duas derivações:
y z + x y partial zpartial x = -sin(x + y + z) (1 + partial zpartial x)

Passo 6

Vamos isolar y z + x y partial zpartial x = -sin(x + y + z) - sin(x + y + z) partial zpartial x . Primeiro, distribua o :

Passo 7

Reúna os termos que contêm x y partial zpartial x + sin(x + y + z) partial zpartial x = -sin(x + y + z) - y z de um lado:

Passo 8

Fatore partial zpartial x (x y + sin(x + y + z)) = -sin(x + y + z) - y z :

Passo 9

Finalmente, isole partial zpartial x = -sin(x + y + z) - y z x y + sin(x + y + z) :

Passo 10

Vamos repetir o processo para encontrar x y z = cos(x + y + z) . Diferenciando a equação original em relação a ddy(x y z) = ddy[cos(x + y + z)] :
Diferenciando:

Passo 11

Diferenciando o lado esquerdo:
x z + x y partial zpartial y

Passo 12

Diferenciando o lado direito:
-sin(x + y + z) (1 + partial zpartial y)

Passo 13

Igualando as derivações:
x z + x y partial zpartial y = -sin(x + y + z) - sin(x + y + z) partial zpartial y

Passo 14

Isolando x y partial zpartial y + sin(x + y + z) partial zpartial y = -sin(x + y + z) - x z :

Passo 15

Fatorando partial zpartial y (x y + sin(x + y + z)) = -sin(x + y + z) - x z :

Passo 16

Finalmente, isolamos partial zpartial y = -sin(x + y + z) - x z x y + sin(x + y + z) :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = -sin(x + y + z) - y z x y + sin(x + y + z)
e
partial zpartial y = -sin(x + y + z) - x z x y + sin(x + y + z)

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