Use diferenciação implícita para determinar
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar diferenciação implícita para encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
, ou seja,
e
. A equação que temos é
. Vamos precisar aplicar a regra da cadeia e tratar
como uma função que depende de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que
é tratada como uma constante quando diferenciamos em relação a
.
A equação original é:
Derivando em relação a
:
Passo 3
Vamos diferenciar o lado esquerdo:
Usando a regra do produto, temos:
Passo 4
Agora, diferenciamos o lado direito:
Aplicando a regra da cadeia:
Passo 5
Agora, igualamos as duas derivações:
Passo 6
Vamos isolar
. Primeiro, distribua o
:
Passo 7
Reúna os termos que contêm
de um lado:
Passo 8
Fatore
:
Passo 9
Finalmente, isole
:
Passo 10
Vamos repetir o processo para encontrar
. Diferenciando a equação original em relação a
:
Diferenciando:
Passo 11
Diferenciando o lado esquerdo:
Passo 12
Diferenciando o lado direito:
Passo 13
Igualando as derivações:
Passo 14
Isolando
:
Passo 15
Fatorando
:
Passo 16
Finalmente, isolamos
:
Resposta
As derivadas parciais são:
e