Considere z = x * y^2 + e^(2 * x), com x = ln(t) e y = 1 + t^2.
Use a Regra da Cadeia para determinar d z / d t e compare com o resultado do item anterior.

Passo 1

Vamos lá! Temos que encontrar a derivada de em relação a usando a Regra da Cadeia. A função dada é , onde e . Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e , e as derivadas de e em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e a .
Derivada parcial de em relação a :
Derivada parcial de em relação a :

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de e em relação a .
Derivada de em relação a :
Derivada de em relação a :

Passo 4

Aplicando a Regra da Cadeia, a derivada de em relação a é dada por:
Substituindo as derivadas que encontramos:

Passo 5

Agora, substituímos e em termos de :
Sabemos que e . Além disso, , já que .
Substituindo na expressão:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
Expanda :
Então:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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