Faça o mapa de contornos da função mostrando várias curvas-de-nível.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para fazermos o mapa de contornos da função
, mostrando várias curvas de nível. Isso envolve entender sobre funções de duas variáveis e como representamos suas curvas de nível, que são as chamadas curvas de contorno. Vamos precisar saber como encontrar essas curvas para diferentes valores da função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Curvas de nível são conjuntos de pontos
onde a função
assume o mesmo valor constante, digamos
. Matematicamente, isso é representado por:
No nosso caso, isso fica:
Passo 3
Agora, vamos rearranjar essa equação para facilitar a visualização das curvas:
Isso mostra que, para cada valor de
, temos uma parábola com a concavidade para a direita, deslocada no eixo
.
Passo 4
Vamos escolher diferentes valores de
para desenhar várias curvas de nível. Por exemplo, vamos considerar
.
Para cada
:
-
:
-
:
-
:
-
:
-
:
Passo 5
Desenhando essas parábolas no plano
, percebemos que todas têm a mesma forma básica, mas são deslocadas horizontalmente dependendo do valor de
. Quanto maior o valor de
, mais a parábola se desloca para a direita.
Resposta
O mapa de contornos da função
consiste em várias parábolas com concavidade para a direita, cada uma correspondente a um valor diferente de
. Por exemplo, para
, temos as parábolas
,
,
,
e
respectivamente. Essas curvas de nível mostram como a função se comporta em diferentes regiões do plano
.