Faça o mapa de contornos da função mostrando várias curvas-de-nível.
f(x, y) = x - y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para fazermos o mapa de contornos da função , mostrando várias curvas de nível. Isso envolve entender sobre funções de duas variáveis e como representamos suas curvas de nível, que são as chamadas curvas de contorno. Vamos precisar saber como encontrar essas curvas para diferentes valores da função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Curvas de nível são conjuntos de pontos onde a função assume o mesmo valor constante, digamos . Matematicamente, isso é representado por:
No nosso caso, isso fica:

Passo 3

Agora, vamos rearranjar essa equação para facilitar a visualização das curvas:
Isso mostra que, para cada valor de , temos uma parábola com a concavidade para a direita, deslocada no eixo .

Passo 4

Vamos escolher diferentes valores de para desenhar várias curvas de nível. Por exemplo, vamos considerar .
Para cada :
  • :
  • :
  • :
  • :
  • :

Passo 5

Desenhando essas parábolas no plano , percebemos que todas têm a mesma forma básica, mas são deslocadas horizontalmente dependendo do valor de . Quanto maior o valor de , mais a parábola se desloca para a direita.

Resposta

O mapa de contornos da função consiste em várias parábolas com concavidade para a direita, cada uma correspondente a um valor diferente de . Por exemplo, para , temos as parábolas , , , e respectivamente. Essas curvas de nível mostram como a função se comporta em diferentes regiões do plano .

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