Considere que a aceleração de uma partícula seja dada por:
a=bx t I+ay J
em que bx e ay são parâmetros escalares constantes e I e J são vetores unitários das direções horizontal e vertical, respectivamente. Considere:
  • as componentes (vx0, vy0) da velocidade inicial (t0=0 s) da partícula
  • e as coordenadas da posição da partícula (x1, y1) no instante t1=1 s
    Aplique as expressões (3) e (4) para determinar:
    3.b) o vetor posição R para um instante t qualquer

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de Cinemática envolvendo aceleração que depende do tempo. A aceleração da partícula é dada por
a=bx t I+ay J
onde e são constantes, e e são vetores unitários nas direções horizontal e vertical. A gente também sabe a velocidade inicial no tempo e a posição no instante segundo. Nosso objetivo é encontrar o vetor posição para qualquer tempo .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para achar a posição a partir da aceleração, precisamos integrar a aceleração para obter a velocidade e depois integrar a velocidade para obter a posição.
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
a = dvdt
Então, para encontrar a velocidade , vamos integrar em relação ao tempo.

Passo 3

Vamos integrar cada componente da aceleração separadamente.
Para a componente ax = bx t :
vx(t) = integral ax , dt = integral bx t , dt = bx2 t^2 + Cx
Integrando em relação ao tempo:
vx(t) = vx0 + bx2 t^2
Aqui, é a constante de integração que corresponde à velocidade inicial . Então:

Passo 4

Agora, para a componente ay = ay :
vy(t) = integral ay , dt = ay t + Cy
Integrando em relação ao tempo:
vy(t) = vy0 + ay t
A constante de integração é a velocidade inicial . Então:

Passo 5

Com as expressões para x(t) = integral vx(t) , dt = integral ( vx0 + bx2 t^2 ) dt = vx0 t + bx6 t^3 + Dx e x(t) = x0 + vx0 t + bx6 t^3 encontradas, agora vamos integrar novamente para achar a posição .
Para a componente :
Aqui, é a posição inicial . Então:

Passo 6

Para a componente y(t) = integral vy(t) , dt = integral ( vy0 + ay t ) dt = vy0 t + ay2 t^2 + Dy :
y(t) = y0 + vy0 t + ay2 t^2
A constante é a posição inicial . Então:

Passo 7

Agora, juntando as componentes R(t) = ( x0 + vx0 t + bx6 t^3 ) I + ( y0 + vy0 t + ay2 t^2 ) J e , temos o vetor posição :

Resposta

O vetor posição para qualquer instante R(t) = ( x0 + vx0 t + bx6 t^3 ) I + ( y0 + vy0 t + ay2 t^2 ) J é:

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