Considere que a aceleração de uma partícula seja dada por:
em que e são parâmetros escalares constantes e e são vetores unitários das direções horizontal e vertical, respectivamente. Considere:
  • as componentes da velocidade inicial da partícula
  • e as coordenadas da posição da partícula no instante
    Aplique as expressões (3) e (4) para determinar:
    3.b) o vetor posição para um instante qualquer

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de Cinemática envolvendo aceleração que depende do tempo. A aceleração da partícula é dada por
onde e são constantes, e e são vetores unitários nas direções horizontal e vertical. A gente também sabe a velocidade inicial no tempo e a posição no instante segundo. Nosso objetivo é encontrar o vetor posição para qualquer tempo .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para achar a posição a partir da aceleração, precisamos integrar a aceleração para obter a velocidade e depois integrar a velocidade para obter a posição.
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Então, para encontrar a velocidade , vamos integrar em relação ao tempo.

Passo 3

Vamos integrar cada componente da aceleração separadamente.
Para a componente :
Integrando em relação ao tempo:
Aqui, é a constante de integração que corresponde à velocidade inicial . Então:

Passo 4

Agora, para a componente :
Integrando em relação ao tempo:
A constante de integração é a velocidade inicial . Então:

Passo 5

Com as expressões para e encontradas, agora vamos integrar novamente para achar a posição .
Para a componente :
Aqui, é a posição inicial . Então:

Passo 6

Para a componente :
A constante é a posição inicial . Então:

Passo 7

Agora, juntando as componentes e , temos o vetor posição :

Resposta

O vetor posição para qualquer instante é:

Exercícios relacionados

Se a trajetória de uma partícula é dada por:
em que e são vetores constantes, aplique as expressões (1) e (2) para determinar: 1.d) os vetores e representam que tipos de grandezas físicas?
Se a trajetória de uma partícula é dada por:
em que e são vetores constantes, aplique as expressões (1) e (2) para determinar: 1.a) o vetor velocidade ?
Três cargas puntiformes estão sobre o eixo está na origem, está em e está em uma posição . (a) Determine a força elétrica total em devida a e se . (b) Determine a expressão para a força elétrica total em devida a e ao longo da região .
Considere que a aceleração de uma partícula seja dada por:
em que e são parâmetros escalares constantes e e são vetores unitários das direções horizontal e vertical, respectivamente. Considere:
  • as componentes da velocidade inicial da partícula
  • e as coordenadas da posição da partícula no instante
    Aplique as expressões (3) e (4) para determinar:
    3.f) o vetor velocidade média
entre os instantes e