Considere que a aceleração de uma partícula seja dada por:
em que
e
são parâmetros escalares constantes e
e
são vetores unitários das direções horizontal e vertical, respectivamente. Considere:
- as componentes
da velocidade inicial
da partícula
- e as coordenadas da posição da partícula
no instante
Aplique as expressões (3) e (4) para determinar:
3.b) o vetor posição
para um instante
qualquer
Aplique as expressões (3) e (4) para determinar:
3.b) o vetor posição
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de Cinemática envolvendo aceleração que depende do tempo. A aceleração da partícula é dada por
onde
e
são constantes, e
e
são vetores unitários nas direções horizontal e vertical. A gente também sabe a velocidade inicial
no tempo
e a posição
no instante
segundo. Nosso objetivo é encontrar o vetor posição
para qualquer tempo
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para achar a posição a partir da aceleração, precisamos integrar a aceleração para obter a velocidade e depois integrar a velocidade para obter a posição.
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Então, para encontrar a velocidade
, vamos integrar
em relação ao tempo.
Passo 3
Vamos integrar cada componente da aceleração separadamente.
Para a componente
:
Integrando em relação ao tempo:
Aqui,
é a constante de integração que corresponde à velocidade inicial
. Então:
Passo 4
Agora, para a componente
:
Integrando em relação ao tempo:
A constante de integração
é a velocidade inicial
. Então:
Passo 5
Com as expressões para
e
encontradas, agora vamos integrar novamente para achar a posição
.
Para a componente
:
Aqui,
é a posição inicial
. Então:
Passo 6
Para a componente
:
A constante
é a posição inicial
. Então:
Passo 7
Agora, juntando as componentes
e
, temos o vetor posição
:
Resposta
O vetor posição para qualquer instante
é: