Considere que a aceleração de uma partícula seja dada por:
a=bx t I+ay J
em que bx e ay são parâmetros escalares constantes e I e J são vetores unitários das direções horizontal e vertical, respectivamente. Considere:
  • as componentes (vx0, vy0) da velocidade inicial (t0=0 s) da partícula
  • e as coordenadas da posição da partícula (x1, y1) no instante t1=1 s
    Aplique as expressões (3) e (4) para determinar:
    3.e) distância entre as posições da partícula no instante t0=0 s e t1=1 s

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a aceleração de uma partícula que varia no tempo na direção horizontal e é constante na direção vertical. A gente precisa calcular a distância entre a posição da partícula no tempo inicial (t₀ = 0 s) e no tempo t₁ = 1 s. Para isso, vamos usar as equações do movimento que relacionam aceleração, velocidade e posição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, para encontrar a velocidade, vamos integrar a aceleração.
A aceleração dada é:
a = bx t I + ay J
Integrando em relação ao tempo, obtemos as componentes da velocidade:
vx(t) = integral bx t , dt = bx2 t^2 + vx0
vy(t) = integral ay , dt = ay t + vy0

Passo 3

Agora, vamos integrar as velocidades para encontrar as posições. A posição é a integral da velocidade em relação ao tempo.
Integrando as componentes da velocidade, temos:
x(t) = integral vx(t) , dt = integral ( bx2 t^2 + vx0 ) dt = bx6 t^3 + vx0 t + x0
y(t) = integral vy(t) , dt = integral ( ay t + vy0 ) dt = ay2 t^2 + vy0 t + y0
Como no instante inicial t₀ = 0 s, a posição inicial é (x₀, y₀). Vamos assumir que x₀ = 0 e y₀ = 0 para simplificar, já que não foram fornecidos valores específicos.

Passo 4

Agora, vamos calcular as posições no instante t₁ = 1 s.
Substituindo t = 1 s nas equações de posição:
x(1) = bx6 (1)^3 + vx0 (1) = bx6 + vx0
y(1) = ay2 (1)^2 + vy0 (1) = ay2 + vy0
A posição inicial no instante t₀ = 0 s é (0, 0).

Passo 5

Para encontrar a distância entre as posições no instante t₀ = 0 s e t₁ = 1 s, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos no plano:
d = raiz(x(1) - x(0))^2 + (y(1) - y(0))^2
Como x₀ = 0 e y₀ = 0, fica:
d = raiz ( bx6 + vx0 )^2 + ( ay2 + vy0 )^2

Resposta

A distância entre as posições da partícula nos instantes t₀ = 0 s e t₁ = 1 s é:
d = raiz ( bx6 + vx0 )^2 + ( ay2 + vy0 )^2

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