Resolva os seguintes problemas de valor inicial.
t * y' + 2 * y = sen(t), y(pi) = 1/pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo linear, que envolve derivadas e funções trigonométricas. Pra resolver, vamos precisar usar o método integrante para equações lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão: . A equação que temos é . Vamos dividir tudo por t (desde que t != 0) para isolar :
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é dada por:

Passo 4

Multiplicamos a equação toda pelo fator integrante :
Isso transforma a equação na forma:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a t:
Para resolver essa integral, vamos usar a integração por partes, onde vamos deixar e .

Passo 6

Aplicando integração por partes:
Então,

Passo 7

Resolvendo para y:

Passo 8

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar a constante C:
Sabemos que e , então:
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:

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