Resolva os seguintes problemas de valor inicial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo linear, que envolve derivadas e funções trigonométricas. Pra resolver, vamos precisar usar o método integrante para equações lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão:
. A equação que temos é
. Vamos dividir tudo por
(desde que
) para isolar
:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é dada por:
Passo 4
Multiplicamos a equação toda pelo fator integrante
:
Isso transforma a equação na forma:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Para resolver essa integral, vamos usar a integração por partes, onde vamos deixar
e
.
Passo 6
Aplicando integração por partes:
Então,
Passo 7
Resolvendo para
:
Passo 8
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Sabemos que
e
, então:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
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