Considere as afirmações abaixo. Se a afirmação for verdadeira, prove. Se a afirmação for falsa, dê um contra-exemplo. Assinale, também, a alternativa correta.
(I) Se
e
são subespaços vetoriais de um espaço vetorial V, então
é um subespaço vetorial de
.
(II) O conjunto das matrizes da forma
é um subespaço de
.
(III)
é irracional
é um subespaço vetorial de
.
É correto afirmar que:
( ) Somente (II) e (III) são verdadeiras.
( ) Somente (I) é verdadeira;
( ) Nenhuma afirmação é verdadeira.
( ) Somente (III) é verdadeira.
( ) Somente (II) é verdadeira.
( ) Somente (I) e (II) são verdadeiras.
( ) Somente (I) e (III) são verdadeiras.
(I) Se
(II) O conjunto das matrizes da forma
(III)
É correto afirmar que:
( ) Somente (II) e (III) são verdadeiras.
( ) Somente (I) é verdadeira;
( ) Nenhuma afirmação é verdadeira.
( ) Somente (III) é verdadeira.
( ) Somente (II) é verdadeira.
( ) Somente (I) e (II) são verdadeiras.
( ) Somente (I) e (III) são verdadeiras.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de espaços vetoriais! A questão apresenta três afirmações sobre subespaços vetoriais e pede para a gente verificar se são verdadeiras ou falsas. Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e como verificar se um conjunto de vetores ou matrizes é um subespaço. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é um subespaço vetorial se satisfizer três condições:
- Contém o vetor zero.
- É fechado para adição (se
e estão em , então também está em ). - É fechado para multiplicação por escalar (se
está em e é um escalar, então também está em ).
Vamos analisar cada afirmação com base nisso.
Passo 3
Afirmação (I): Se
e
são subespaços vetoriais de um espaço vetorial
, então
é um subespaço vetorial de
.
Vamos ver se isso é verdade. Para
ser um subespaço, ele precisa conter o zero, estar fechado para adição e multiplicação por escalar.
- O zero está em
e em , então está em . - Mas, se pegar
e , a soma nem sempre está em nem em , a menos que .
Contra-exemplo: Seja
,
o eixo
e
o eixo
. Então,
contém apenas vetores no eixo
ou no eixo
. A soma de
e
é
, que não está nem em
nem em
. Portanto,
não é fechado para adição.
Logo, a afirmação (I) é falsa.
Passo 4
Afirmação (II): O conjunto das matrizes da forma
é um subespaço de
.
Vamos verificar as três condições:
- Contém o zero: A matriz zero é
, que está na forma dada. - Fechado para adição: Se temos duas matrizes
e , a soma é , que também está na forma dada. - Fechado para multiplicação por escalar: Se multiplicamos
por um escalar , obtemos , que mantém a mesma forma.
Todas as condições são satisfeitas, então a afirmação (II) é verdadeira.
Passo 5
Afirmação (III):
é um subespaço vetorial de
.
Vamos checar as condições:
- Contém o zero: O vetor zero é
. Aqui, , que é um número racional, mas a definição exige que seja irracional. Então, o vetor zero NÃO está em .
Como já falhamos na primeira condição, não precisamos verificar as outras. Portanto,
não é um subespaço vetorial.
A afirmação (III) é falsa.
Resposta
Apenas a afirmação (II) é verdadeira.