Considere as afirmações abaixo. Se a afirmação for verdadeira, prove. Se a afirmação for falsa, dê um contra-exemplo. Assinale, também, a alternativa correta.
(I) Se U e W são subespaços vetoriais de um espaço vetorial V, então U cup W é um subespaço vetorial de V.
(II) O conjunto das matrizes da forma [lla & b 0 & c] é um subespaço de M2(R).
(III) Z=(x1, cdots, xn) in R^n ; x1 é irracional é um subespaço vetorial de R^n.
É correto afirmar que:
( ) Somente (II) e (III) são verdadeiras.
( ) Somente (I) é verdadeira;
( ) Nenhuma afirmação é verdadeira.
( ) Somente (III) é verdadeira.
( ) Somente (II) é verdadeira.
( ) Somente (I) e (II) são verdadeiras.
( ) Somente (I) e (III) são verdadeiras.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de espaços vetoriais! A questão apresenta três afirmações sobre subespaços vetoriais e pede para a gente verificar se são verdadeiras ou falsas. Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e como verificar se um conjunto de vetores ou matrizes é um subespaço. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é um subespaço vetorial se satisfizer três condições:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado para adição (se e estão em , então também está em ).
  3. É fechado para multiplicação por escalar (se está em e é um escalar, então também está em ).
Vamos analisar cada afirmação com base nisso.

Passo 3

Afirmação (I): Se e são subespaços vetoriais de um espaço vetorial , então é um subespaço vetorial de .
Vamos ver se isso é verdade. Para ser um subespaço, ele precisa conter o zero, estar fechado para adição e multiplicação por escalar.
  • O zero está em e em , então está em .
  • Mas, se pegar e , a soma nem sempre está em nem em , a menos que .
Contra-exemplo: Seja , o eixo e o eixo . Então, contém apenas vetores no eixo ou no eixo . A soma de e é , que não está nem em nem em . Portanto, não é fechado para adição.
Logo, a afirmação (I) é falsa.

Passo 4

Afirmação (II): O conjunto das matrizes da forma lla & b 0 & c é um subespaço de ll0 & 0 0 & 0.
Vamos verificar as três condições:
  1. Contém o zero: A matriz zero é lla & b 0 & c, que está na forma dada.
  2. Fechado para adição: Se temos duas matrizes lld & e 0 & f e lla+d & b+e 0 & c+f, a soma é lla & b 0 & c, que também está na forma dada.
  3. Fechado para multiplicação por escalar: Se multiplicamos llka & kb 0 & kc por um escalar , obtemos , que mantém a mesma forma.
Todas as condições são satisfeitas, então a afirmação (II) é verdadeira.

Passo 5

Afirmação (III): é é um subespaço vetorial de .
Vamos checar as condições:
  1. Contém o zero: O vetor zero é . Aqui, , que é um número racional, mas a definição exige que seja irracional. Então, o vetor zero NÃO está em .
Como já falhamos na primeira condição, não precisamos verificar as outras. Portanto, não é um subespaço vetorial.
A afirmação (III) é falsa.

Resposta

Apenas a afirmação (II) é verdadeira.

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Dados os vetores u=(1,2), v=(4,-2) e w=(6,0), determine:
b) |(u cdot w) w|
Considere em R^3 as seguintes operações:
(x1, x2, x3)+(y1, y2, y3) & =(x1+y1, x2+y2, x3+y3) alpha cdot(x1, x2, x3) & =(alpha x1, alpha x2, x3)
em que (x1, x2, x3),(y1, y2, y3) in R^3 e alpha in R. É correto afirmar que:
( ) (R^3,+, cdot) é um espaço vetorial, pois a soma é igual à soma usual em R^3.
( ) (R^3,+, cdot) não é um espaço vetorial, pois u+(v+w) neq(u+v)+w para algum u, v, w in R^3.
( ) (R^3,+, cdot) não é um espaço vetorial, pois alpha cdot(beta cdot u) neq(alpha beta) cdot u para algum u in R^3 e alpha, beta in R.
( ) (R^3,+, cdot) não é um espaço vetorial, pois (alpha+beta) cdot u neq alpha cdot u+beta cdot u para algum u in R^3 e alpha, beta in R.
( ) (R^3,+, cdot) não é um espaço vetorial, pois alpha cdot(u+v) neq alpha cdot u+alpha cdot v para algum u, v in R^3 e alpha in R.
( ) Nenhuma das alternativas anteriores.
Consideremos os subespaços W1 e W2 do espaço vetorial R^4 (munido com as operações usuais de soma e produto por escalar):
& W1=(x+y, y, 0,0) mid x, y in R & W2=(z+w, z+w, z+w, w) mid z, w in R
Podemos afirmar que:
( ) W1+W2=R^4 e essa soma de subespaços é direta.
( ) W1+W2=R^4 e essa soma de subespaços não é direta.
( ) W1+W2=(x+y, x, y, z) mid x, y, z in R e essa soma de subespaços é direta.
( ) W1+W2=(x+y, x, y, z) mid x, y, z in R e essa soma de subespaços não é direta.
Determine se T étransformação linear: T: mathscrP2 longrightarrow mathscrP2 definida por T(a+b x+c x^2)=a+b(x+1)+b(x+1)^2.
Onde mathscrP2 espaço vetorial de polinômios de grau menor ou igual que 2 e mathscrF é o espaço vetorial de funções.