Considere as afirmações abaixo. Se a afirmação for verdadeira, prove. Se a afirmação for falsa, dê um contra-exemplo. Assinale, também, a alternativa correta.
(I) Se U e W são subespaços vetoriais de um espaço vetorial V, então U cup W é um subespaço vetorial de V.
(II) O conjunto das matrizes da forma [lla & b 0 & c] é um subespaço de M2(R).
(III) Z=(x1, cdots, xn) in R^n ; x1 é irracional é um subespaço vetorial de R^n.
É correto afirmar que:
( ) Somente (II) e (III) são verdadeiras.
( ) Somente (I) é verdadeira;
( ) Nenhuma afirmação é verdadeira.
( ) Somente (III) é verdadeira.
( ) Somente (II) é verdadeira.
( ) Somente (I) e (II) são verdadeiras.
( ) Somente (I) e (III) são verdadeiras.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de espaços vetoriais! A questão apresenta três afirmações sobre subespaços vetoriais e pede para a gente verificar se são verdadeiras ou falsas. Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e como verificar se um conjunto de vetores ou matrizes é um subespaço. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é um subespaço vetorial se satisfizer três condições:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado para adição (se e estão em , então também está em ).
  3. É fechado para multiplicação por escalar (se está em e é um escalar, então também está em ).
Vamos analisar cada afirmação com base nisso.

Passo 3

Afirmação (I): Se e são subespaços vetoriais de um espaço vetorial , então é um subespaço vetorial de .
Vamos ver se isso é verdade. Para ser um subespaço, ele precisa conter o zero, estar fechado para adição e multiplicação por escalar.
  • O zero está em e em , então está em .
  • Mas, se pegar e , a soma nem sempre está em nem em , a menos que .
Contra-exemplo: Seja , o eixo e o eixo . Então, contém apenas vetores no eixo ou no eixo . A soma de e é , que não está nem em nem em . Portanto, não é fechado para adição.
Logo, a afirmação (I) é falsa.

Passo 4

Afirmação (II): O conjunto das matrizes da forma lla & b 0 & c é um subespaço de ll0 & 0 0 & 0.
Vamos verificar as três condições:
  1. Contém o zero: A matriz zero é lla & b 0 & c, que está na forma dada.
  2. Fechado para adição: Se temos duas matrizes lld & e 0 & f e lla+d & b+e 0 & c+f, a soma é lla & b 0 & c, que também está na forma dada.
  3. Fechado para multiplicação por escalar: Se multiplicamos llka & kb 0 & kc por um escalar , obtemos , que mantém a mesma forma.
Todas as condições são satisfeitas, então a afirmação (II) é verdadeira.

Passo 5

Afirmação (III): é é um subespaço vetorial de .
Vamos checar as condições:
  1. Contém o zero: O vetor zero é . Aqui, , que é um número racional, mas a definição exige que seja irracional. Então, o vetor zero NÃO está em .
Como já falhamos na primeira condição, não precisamos verificar as outras. Portanto, não é um subespaço vetorial.
A afirmação (III) é falsa.

Resposta

Apenas a afirmação (II) é verdadeira.

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