Considere em
as seguintes operações:
em que
. É correto afirmar que:
( )
é um espaço vetorial, pois a soma é igual à soma usual em
.
( )
não é um espaço vetorial, pois
para algum
.
( )
não é um espaço vetorial, pois
para algum
e
.
( )
não é um espaço vetorial, pois
para algum
e
.
( )
não é um espaço vetorial, pois
para algum
e
.
( ) Nenhuma das alternativas anteriores.
( )
( )
( )
( )
( )
( ) Nenhuma das alternativas anteriores.
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: temos operações de soma e multiplicação por escalar definidas em
. Nosso objetivo é verificar se
forma um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar entender os axiomas de espaço vetorial e verificar se essas operações os satisfazem.
Passo 2
Axiomas de Espaço Vetorial: Para que
seja um espaço vetorial, as operações de soma e multiplicação por escalar devem obedecer a 8 axiomas básicos, como comutatividade, associatividade, existência de elemento neutro, distributividade, etc.
Passo 3
Vamos analisar a operação de soma definida:
Essa é a soma usual em
, que satisfaz todos os axiomas de soma em um espaço vetorial, como comutatividade, associatividade e existência de elemento neutro.
Passo 4
Agora, vamos olhar para a operação de multiplicação por escalar:
Perceba que o terceiro componente não está sendo multiplicado por
, o que já é diferente da multiplicação usual em
. Isso pode afetar alguns axiomas.
Passo 5
Vamos verificar os axiomas de distribuição. Um deles é:
Vamos testar com um vetor
:
Por outro lado:
Comparando, vemos que
tem
, enquanto
tem
. Eles só são iguais se
, o que nem sempre é verdade.
Passo 6
Como encontramos uma violação no axioma de distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares, podemos concluir que
não satisfaz todos os axiomas necessários para ser um espaço vetorial.
Resposta
Exercícios relacionados
Consideremos as seguintes afirmações:
(a) munido com as operações
(a)
é um espaço vetorial sobre
.
(b) é um subespaço vetorial de
quando consideramos este último munido com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar.
Podemos afirmar que:
( ) As afirmações (a) e (b) são verdadeiras.
( ) Somente a afirmação (a) é verdadeira.
( ) Somente a afirmação (b) é verdadeira.
( ) Nenhuma das afirmações é verdadeira.
(b)
Podemos afirmar que:
( ) As afirmações (a) e (b) são verdadeiras.
( ) Somente a afirmação (a) é verdadeira.
( ) Somente a afirmação (b) é verdadeira.
( ) Nenhuma das afirmações é verdadeira.
Considere os seguintes conjuntos:
Assinale a alternativa CORRETA:
( ) é soma direta.
( ) é soma direta.
( ) não é soma direta.
( ) é soma direta.
( ) Nenhuma das demais alternativas está correta.
( )
( )
( )
( )
( ) Nenhuma das demais alternativas está correta.
Dados os vetores
e
, determine:
b)
b)
Considere as afirmações abaixo. Se a afirmação for verdadeira, prove. Se a afirmação for falsa, dê um contra-exemplo. Assinale, também, a alternativa correta.
(I) Se e
são subespaços vetoriais de um espaço vetorial V, então
é um subespaço vetorial de
.
(II) O conjunto das matrizes da forma é um subespaço de
.
(III) é irracional
é um subespaço vetorial de
.
É correto afirmar que:
( ) Somente (II) e (III) são verdadeiras.
( ) Somente (I) é verdadeira;
( ) Nenhuma afirmação é verdadeira.
( ) Somente (III) é verdadeira.
( ) Somente (II) é verdadeira.
( ) Somente (I) e (II) são verdadeiras.
( ) Somente (I) e (III) são verdadeiras.
(I) Se
(II) O conjunto das matrizes da forma
(III)
É correto afirmar que:
( ) Somente (II) e (III) são verdadeiras.
( ) Somente (I) é verdadeira;
( ) Nenhuma afirmação é verdadeira.
( ) Somente (III) é verdadeira.
( ) Somente (II) é verdadeira.
( ) Somente (I) e (II) são verdadeiras.
( ) Somente (I) e (III) são verdadeiras.