Considere em as seguintes operações:
em que . É correto afirmar que:
( ) é um espaço vetorial, pois a soma é igual à soma usual em .
( ) não é um espaço vetorial, pois para algum .
( ) não é um espaço vetorial, pois para algum e .
( ) não é um espaço vetorial, pois para algum e .
( ) não é um espaço vetorial, pois para algum e .
( ) Nenhuma das alternativas anteriores.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: temos operações de soma e multiplicação por escalar definidas em . Nosso objetivo é verificar se forma um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar entender os axiomas de espaço vetorial e verificar se essas operações os satisfazem.

Passo 2

Axiomas de Espaço Vetorial: Para que seja um espaço vetorial, as operações de soma e multiplicação por escalar devem obedecer a 8 axiomas básicos, como comutatividade, associatividade, existência de elemento neutro, distributividade, etc.

Passo 3

Vamos analisar a operação de soma definida:
Essa é a soma usual em , que satisfaz todos os axiomas de soma em um espaço vetorial, como comutatividade, associatividade e existência de elemento neutro.

Passo 4

Agora, vamos olhar para a operação de multiplicação por escalar:
Perceba que o terceiro componente não está sendo multiplicado por , o que já é diferente da multiplicação usual em . Isso pode afetar alguns axiomas.

Passo 5

Vamos verificar os axiomas de distribuição. Um deles é:
Vamos testar com um vetor :
Por outro lado:
Comparando, vemos que tem , enquanto tem . Eles só são iguais se , o que nem sempre é verdade.

Passo 6

Como encontramos uma violação no axioma de distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares, podemos concluir que não satisfaz todos os axiomas necessários para ser um espaço vetorial.

Resposta

não é um espaço vetorial, pois para algum e .

Exercícios relacionados

Consideremos as seguintes afirmações:
(a) munido com as operações
é um espaço vetorial sobre .
(b) é um subespaço vetorial de quando consideramos este último munido com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar.
Podemos afirmar que:
( ) As afirmações (a) e (b) são verdadeiras.
( ) Somente a afirmação (a) é verdadeira.
( ) Somente a afirmação (b) é verdadeira.
( ) Nenhuma das afirmações é verdadeira.
Considere os seguintes conjuntos:
Assinale a alternativa CORRETA:
( ) é soma direta.
( ) é soma direta.
( ) não é soma direta.
( ) é soma direta.
( ) Nenhuma das demais alternativas está correta.
Dados os vetores e , determine:
b)
Considere as afirmações abaixo. Se a afirmação for verdadeira, prove. Se a afirmação for falsa, dê um contra-exemplo. Assinale, também, a alternativa correta.
(I) Se e são subespaços vetoriais de um espaço vetorial V, então é um subespaço vetorial de .
(II) O conjunto das matrizes da forma é um subespaço de .
(III) é irracional é um subespaço vetorial de .
É correto afirmar que:
( ) Somente (II) e (III) são verdadeiras.
( ) Somente (I) é verdadeira;
( ) Nenhuma afirmação é verdadeira.
( ) Somente (III) é verdadeira.
( ) Somente (II) é verdadeira.
( ) Somente (I) e (II) são verdadeiras.
( ) Somente (I) e (III) são verdadeiras.