Determine se
étransformação linear:
definida por
.
Onde
espaço vetorial de polinômios de grau menor ou igual que 2 e
é o espaço vetorial de funções.
Onde
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação
que atua no espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 2, denotado por
. A transformação é definida por:
Nosso objetivo é determinar se
é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar conhecer as propriedades que definem uma transformação linear.
Passo 2
Uma transformação
entre dois espaços vetoriais é linear se ela satisfaz duas propriedades fundamentais:
- Aditividade (ou preservação da soma):
- Homogeneidade (ou preservação da multiplicação por escalar):
Vamos verificar se
satisfaz essas duas propriedades.
Passo 3
Verificando a aditividade:
Vamos considerar dois polinômios quaisquer em
:
Primeiro, calculamos
:
Aplicando
:
Agora, calculamos
:
Somando:
Comparando com
, percebemos que:
Então, a propriedade da aditividade é satisfeita.
Passo 4
Verificando a homogeneidade:
Vamos considerar um polinômio qualquer
e um escalar
.
Primeiro, calculamos
:
Aplicando
:
Agora, calculamos
:
Multiplicando por
:
Comparando
com
, vemos que:
Portanto, a propriedade da homogeneidade também é satisfeita.
Passo 5
Análise Final:
Já que
satisfaz tanto a propriedade da aditividade quanto a da homogeneidade, podemos concluir que
é uma transformação linear.
Resposta
Sim,
é uma transformação linear.
Exercícios relacionados
Consideremos os subespaços
e
do espaço vetorial
(munido com as operações usuais de soma e produto por escalar):
Podemos afirmar que:
( ) e essa soma de subespaços é direta.
( ) e essa soma de subespaços não é direta.
( ) e essa soma de subespaços é direta.
( ) e essa soma de subespaços não é direta.
( )
( )
( )
( )
Considere as afirmações abaixo. Se a afirmação for verdadeira, prove. Se a afirmação for falsa, dê um contra-exemplo. Assinale, também, a alternativa correta.
(I) Se e
são subespaços vetoriais de um espaço vetorial V, então
é um subespaço vetorial de
.
(II) O conjunto das matrizes da forma é um subespaço de
.
(III) é irracional
é um subespaço vetorial de
.
É correto afirmar que:
( ) Somente (II) e (III) são verdadeiras.
( ) Somente (I) é verdadeira;
( ) Nenhuma afirmação é verdadeira.
( ) Somente (III) é verdadeira.
( ) Somente (II) é verdadeira.
( ) Somente (I) e (II) são verdadeiras.
( ) Somente (I) e (III) são verdadeiras.
(I) Se
(II) O conjunto das matrizes da forma
(III)
É correto afirmar que:
( ) Somente (II) e (III) são verdadeiras.
( ) Somente (I) é verdadeira;
( ) Nenhuma afirmação é verdadeira.
( ) Somente (III) é verdadeira.
( ) Somente (II) é verdadeira.
( ) Somente (I) e (II) são verdadeiras.
( ) Somente (I) e (III) são verdadeiras.
Determine se
étransformação linear:
definida por
, onde c é um escalar fixado.
Onde espaço vetorial de polinômios de grau menor ou igual que 2 e
é o espaço vetorial de funções.
Onde
Seja
uma transformação linear para a qual
e
. Calcule
e
. Onde
espaço vetorial de polinômios de grau menor ou igual que 2.