Determine se T étransformação linear: T: mathscrP2 longrightarrow mathscrP2 definida por T(a+b x+c x^2)=a+b(x+1)+b(x+1)^2.
Onde mathscrP2 espaço vetorial de polinômios de grau menor ou igual que 2 e mathscrF é o espaço vetorial de funções.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação T(a + bx + cx^2) = a + b(x + 1) + b(x + 1)^2 que atua no espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 2, denotado por . A transformação é definida por:
Nosso objetivo é determinar se é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar conhecer as propriedades que definem uma transformação linear.

Passo 2

Uma transformação T(u + v) = T(u) + T(v) para todo u, v in V entre dois espaços vetoriais é linear se ela satisfaz duas propriedades fundamentais:
  1. Aditividade (ou preservação da soma): T(ku) = kT(u) para todo u in V e todo escalar k
  2. Homogeneidade (ou preservação da multiplicação por escalar):
Vamos verificar se satisfaz essas duas propriedades.

Passo 3

Verificando a aditividade:
Vamos considerar dois polinômios quaisquer em u = a1 + b1x + c1x^2 :
v = a2 + b2x + c2x^2
u + v = (a1 + a2) + (b1 + b2)x + (c1 + c2)x^2
Primeiro, calculamos T(u + v) = (a1 + a2) + (b1 + b2)(x + 1) + b1 + b2)(x + 1)^2 :
T(u) = a1 + b1(x + 1) + b1(x + 1)^2
Aplicando T(v) = a2 + b2(x + 1) + b2(x + 1)^2 :
T(u) + T(v) = (a1 + a2) + (b1 + b2)(x + 1) + (b1 + b2)(x + 1)^2
Agora, calculamos T(u + v) = T(u) + T(v) :
Somando:
Comparando com , percebemos que:
Então, a propriedade da aditividade é satisfeita.

Passo 4

Verificando a homogeneidade:
Vamos considerar um polinômio qualquer ku = ka + kbx + kcx^2 e um escalar T(ku) = ka + kb(x + 1) + kb(x + 1)^2 .
Primeiro, calculamos T(u) = a + b(x + 1) + b(x + 1)^2 :
kT(u) = ka + kb(x + 1) + kb(x + 1)^2
Aplicando T(ku) = kT(u) :
Agora, calculamos :
Multiplicando por :
Comparando com , vemos que:
Portanto, a propriedade da homogeneidade também é satisfeita.

Passo 5

Análise Final:
Já que satisfaz tanto a propriedade da aditividade quanto a da homogeneidade, podemos concluir que é uma transformação linear.

Resposta

Sim, é uma transformação linear.

Exercícios relacionados