Determine se
étransformação linear:
definida por
.
Onde
espaço vetorial de polinômios de grau menor ou igual que 2 e
é o espaço vetorial de funções.
Onde
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação
que atua no espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 2, denotado por
. A transformação é definida por:
Nosso objetivo é determinar se
é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar conhecer as propriedades que definem uma transformação linear.
Passo 2
Uma transformação
entre dois espaços vetoriais é linear se ela satisfaz duas propriedades fundamentais:
- Aditividade (ou preservação da soma):
- Homogeneidade (ou preservação da multiplicação por escalar):
Vamos verificar se
satisfaz essas duas propriedades.
Passo 3
Verificando a aditividade:
Vamos considerar dois polinômios quaisquer em
:
Primeiro, calculamos
:
Aplicando
:
Agora, calculamos
:
Somando:
Comparando com
, percebemos que:
Então, a propriedade da aditividade é satisfeita.
Passo 4
Verificando a homogeneidade:
Vamos considerar um polinômio qualquer
e um escalar
.
Primeiro, calculamos
:
Aplicando
:
Agora, calculamos
:
Multiplicando por
:
Comparando
com
, vemos que:
Portanto, a propriedade da homogeneidade também é satisfeita.
Passo 5
Análise Final:
Já que
satisfaz tanto a propriedade da aditividade quanto a da homogeneidade, podemos concluir que
é uma transformação linear.
Resposta
Sim,
é uma transformação linear.