Consideremos os subespaços W1 e W2 do espaço vetorial R^4 (munido com as operações usuais de soma e produto por escalar):
& W1=(x+y, y, 0,0) mid x, y in R & W2=(z+w, z+w, z+w, w) mid z, w in R
Podemos afirmar que:
( ) W1+W2=R^4 e essa soma de subespaços é direta.
( ) W1+W2=R^4 e essa soma de subespaços não é direta.
( ) W1+W2=(x+y, x, y, z) mid x, y, z in R e essa soma de subespaços é direta.
( ) W1+W2=(x+y, x, y, z) mid x, y, z in R e essa soma de subespaços não é direta.

Passo 1

Beleza, galera! Vamos dar uma olhada nesse exercício de álgebra linear. A gente tem dois subespaços, e , dentro do espaço vetorial . Nosso objetivo é descobrir como esses subespaços se combinam, ou seja, qual é a soma deles , e se essa soma é direta ou não. Para isso, vamos precisar entender o que significa a soma de subespaços e a soma direta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a soma de dois subespaços. A soma W1 + W2 = u + v mid u in W1, v in W2 é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de com um vetor de . Matematicamente:
Agora, vamos identificar os vetores em e .

Passo 3

Para W1 = (x + y, y, 0, 0) mid x, y in R :
W2 = (z + w, z + w, z + w, w) mid z, w in R
Ou seja, qualquer vetor em tem a forma .
Para :
Ou seja, qualquer vetor em tem a forma .

Passo 4

Vamos agora somar um vetor qualquer de u + v = (x + y, y, 0, 0) + (z + w, z + w, z + w, w) = (x + y + z + w, y + z + w, z + w, w) com um vetor qualquer de :
Então, a soma é o conjunto de todos os vetores da forma .

Passo 5

Vamos analisar se a = x + y + z + w b = y + z + w c = z + w d = w é igual a . Para isso, precisamos verificar se qualquer vetor pode ser escrito como .
Observando as componentes:
Podemos resolver de baixo para cima:
  • De , temos .
  • De , substituindo , temos .
  • De , substituindo e , temos .
  • De , substituindo , temos .
Portanto, para quaisquer , podemos encontrar que satisfazem as equações, o que significa que .

Passo 6

Agora, vamos verificar se a soma é direta. Para que (x + y, y, 0, 0) = (z + w, z + w, z + w, w) seja uma soma direta, a interseção x + y = z + w y = z + w 0 = z + w 0 = w deve conter apenas o vetor nulo.
Vamos encontrar :
Isso nos dá o sistema:
Da última equação, . Substituindo na terceira equação, . Com e , da segunda equação . Finalmente, da primeira equação , então .
Portanto, , o que significa que a soma é direta.

Resposta

A soma e essa soma de subespaços é direta.

Exercícios relacionados

Considere as afirmações abaixo. Se a afirmação for verdadeira, prove. Se a afirmação for falsa, dê um contra-exemplo. Assinale, também, a alternativa correta.
(I) Se U e W são subespaços vetoriais de um espaço vetorial V, então U cup W é um subespaço vetorial de V.
(II) O conjunto das matrizes da forma [lla & b 0 & c] é um subespaço de M2(R).
(III) Z=(x1, cdots, xn) in R^n ; x1 é irracional é um subespaço vetorial de R^n.
É correto afirmar que:
( ) Somente (II) e (III) são verdadeiras.
( ) Somente (I) é verdadeira;
( ) Nenhuma afirmação é verdadeira.
( ) Somente (III) é verdadeira.
( ) Somente (II) é verdadeira.
( ) Somente (I) e (II) são verdadeiras.
( ) Somente (I) e (III) são verdadeiras.
Dados os vetores u=(1,2), v=(4,-2) e w=(6,0), determine:
b) |(u cdot w) w|
Determine se T étransformação linear: T: mathscrP2 longrightarrow mathscrP2 definida por T(a+b x+c x^2)=a+b(x+1)+b(x+1)^2.
Onde mathscrP2 espaço vetorial de polinômios de grau menor ou igual que 2 e mathscrF é o espaço vetorial de funções.
Determine se T étransformação linear: T: mathscrF longrightarrow R definida por T(f)=f(c), onde c é um escalar fixado.
Onde mathscrP2 espaço vetorial de polinômios de grau menor ou igual que 2 e mathscrF é o espaço vetorial de funções.