Consideremos os subespaços e do espaço vetorial (munido com as operações usuais de soma e produto por escalar):
Podemos afirmar que:
( ) e essa soma de subespaços é direta.
( ) e essa soma de subespaços não é direta.
( ) e essa soma de subespaços é direta.
( ) e essa soma de subespaços não é direta.
Passo 1
Beleza, galera! Vamos dar uma olhada nesse exercício de álgebra linear. A gente tem dois subespaços, e , dentro do espaço vetorial . Nosso objetivo é descobrir como esses subespaços se combinam, ou seja, qual é a soma deles , e se essa soma é direta ou não. Para isso, vamos precisar entender o que significa a soma de subespaços e a soma direta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a soma de dois subespaços. A soma é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de com um vetor de . Matematicamente:
Agora, vamos identificar os vetores em e .
Passo 3
Para :
Ou seja, qualquer vetor em tem a forma .
Para :
Ou seja, qualquer vetor em tem a forma .
Passo 4
Vamos agora somar um vetor qualquer de com um vetor qualquer de :
Então, a soma é o conjunto de todos os vetores da forma .
Passo 5
Vamos analisar se é igual a . Para isso, precisamos verificar se qualquer vetor pode ser escrito como .
Observando as componentes:
Podemos resolver de baixo para cima:
De , temos .
De , substituindo , temos .
De , substituindo e , temos .
De , substituindo , temos .
Portanto, para quaisquer , podemos encontrar que satisfazem as equações, o que significa que .
Passo 6
Agora, vamos verificar se a soma é direta. Para que (x + y, y, 0, 0) = (z + w, z + w, z + w, w) seja uma soma direta, a interseção x + y = z + w y = z + w 0 = z + w 0 = w deve conter apenas o vetor nulo.
Vamos encontrar :
Isso nos dá o sistema:
Da última equação, . Substituindo na terceira equação, . Com e , da segunda equação . Finalmente, da primeira equação , então .