Considere as afirmações abaixo a respeito de vetores :
I. implica .
II. Se são dois a dois ortogonais, então .
III. .
Está correto o que se afirma em
(A) II, apenas.
(B) III, apenas
© II e III, apenas.
(D) I e III, apenas.
(E) I, II e III.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre vetores em 3 dimensões e algumas afirmações sobre eles. O conteúdo principal aqui é o produto misto de três vetores, que é uma ferramenta que ajuda a entender relações como ortogonalidade e volume de paralelogramos. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como calcular o produto misto e entender algumas propriedades básicas dele.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o produto misto. Dado três vetores , , e , o produto misto é definido como:
Esse produto misto também representa o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores. Além disso, ele tem algumas propriedades importantes, como ser cíclico, ou seja:

Passo 3

Vamos analisar a Afirmação I:
I. implica .
Para verificar isso, substituímos na expressão do produto misto:
Usando a propriedade de linearidade do produto misto em relação ao primeiro vetor:
Sabemos que o produto misto é zero se dois vetores forem iguais (porque o produto vetorial ):
Então, a afirmação diz que o produto misto é igual a uma expressão que não é zero, mas na verdade é zero. Portanto, a Afirmação I está incorreta.

Passo 4

Agora, a Afirmação II:
II. Se , , são dois a dois ortogonais, então .
Se os vetores são dois a dois ortogonais, isso significa que cada par de vetores é perpendicular, ou seja:
Nesse caso, o produto vetorial terá magnitude igual ao produto das magnitudes de e , já que são ortogonais:
Então, o produto misto fica:
Portanto, a Afirmação II está correta.

Passo 5

Finalmente, a Afirmação III:
III. .
Como mencionei no Passo 2, o produto misto é cíclico, ou seja:
Portanto, a Afirmação III está correta.

Resposta

A resposta correta é a opção © II e III, apenas.

Exercícios relacionados

Resolver a Equação Homogênea:
Sejam e pontos tais que
  • ,
  • o ângulo entre e mede radianos,
  • e são ambos ortogonais ao vetor , e
  • o vetor faz um ângulo de radianos com .
    Então, o volume do paralelepípedo que tem os segmentos e como arestas vale
    (A)
    (B) 3
    © 1
    (D)
    (E)
Representar no gráfico o vetor nos casos: e
Seja . Se e . Verifique se com as operações de adição
e multiplicação por escalar
é um espaço vetorial sobre .