Considere as afirmações abaixo a respeito de vetores u, v, w in V^3 :
I. u=2 v+2 w implica [u, v, w]=2|v|^2|w|+2|v||w|^2.
II. Se u, v, w são dois a dois ortogonais, então |[u, v, w]|=|u||v||w|.
III. [u, v, w]=[v, w, u].
Está correto o que se afirma em
(A) II, apenas.
(B) III, apenas
© II e III, apenas.
(D) I e III, apenas.
(E) I, II e III.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre vetores em 3 dimensões e algumas afirmações sobre eles. O conteúdo principal aqui é o produto misto de três vetores, que é uma ferramenta que ajuda a entender relações como ortogonalidade e volume de paralelogramos. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como calcular o produto misto e entender algumas propriedades básicas dele.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o produto misto. Dado três vetores [u, v, w] = u cdot (v times w) , [u, v, w] = [v, w, u] = [w, u, v] , e , o produto misto é definido como:
Esse produto misto também representa o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores. Além disso, ele tem algumas propriedades importantes, como ser cíclico, ou seja:

Passo 3

Vamos analisar a Afirmação I:
I. [u, v, w] = [2v + 2w, v, w] implica = 2[v, v, w] + 2[w, v, w] .
Para verificar isso, substituímos = 2 cdot 0 + 2 cdot 0 = 0 na expressão do produto misto:
Usando a propriedade de linearidade do produto misto em relação ao primeiro vetor:
Sabemos que o produto misto é zero se dois vetores forem iguais (porque o produto vetorial ):
Então, a afirmação diz que o produto misto é igual a uma expressão que não é zero, mas na verdade é zero. Portanto, a Afirmação I está incorreta.

Passo 4

Agora, a Afirmação II:
II. Se u cdot v = u cdot w = v cdot w = 0 , |v times w| = |v||w| , |[u, v, w]| = |u| cdot |v times w| = |u||v||w| são dois a dois ortogonais, então .
Se os vetores são dois a dois ortogonais, isso significa que cada par de vetores é perpendicular, ou seja:
Nesse caso, o produto vetorial terá magnitude igual ao produto das magnitudes de e , já que são ortogonais:
Então, o produto misto fica:
Portanto, a Afirmação II está correta.

Passo 5

Finalmente, a Afirmação III:
III. [u, v, w] = [v, w, u] = [w, u, v] .
Como mencionei no Passo 2, o produto misto é cíclico, ou seja:
Portanto, a Afirmação III está correta.

Resposta

A resposta correta é a opção © II e III, apenas.

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