Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre vetores em 3 dimensões e algumas afirmações sobre eles. O conteúdo principal aqui é o produto misto de três vetores, que é uma ferramenta que ajuda a entender relações como ortogonalidade e volume de paralelogramos. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como calcular o produto misto e entender algumas propriedades básicas dele.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o produto misto. Dado três vetores , , e , o produto misto é definido como:
Esse produto misto também representa o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores. Além disso, ele tem algumas propriedades importantes, como ser cíclico, ou seja:
Passo 3
Vamos analisar a Afirmação I:
I. implica .
Para verificar isso, substituímos na expressão do produto misto:
Usando a propriedade de linearidade do produto misto em relação ao primeiro vetor:
Sabemos que o produto misto é zero se dois vetores forem iguais (porque o produto vetorial ):
Então, a afirmação diz que o produto misto é igual a uma expressão que não é zero, mas na verdade é zero. Portanto, a Afirmação I está incorreta.
Passo 4
Agora, a Afirmação II:
II. Se , , são dois a dois ortogonais, então .
Se os vetores são dois a dois ortogonais, isso significa que cada par de vetores é perpendicular, ou seja:
Nesse caso, o produto vetorial terá magnitude igual ao produto das magnitudes de e , já que são ortogonais:
Então, o produto misto fica:
Portanto, a Afirmação II está correta.
Passo 5
Finalmente, a Afirmação III:
III..
Como mencionei no Passo 2, o produto misto é cíclico, ou seja: