Beleza, vamos descomplicar esse exercício! Temos quatro pontos e com algumas informações sobre os vetores que ligam esses pontos. Nosso objetivo é encontrar o volume do paralelepípedo formado pelos vetores , e . Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria vetorial, como norma de vetores, ângulos entre vetores, ortogonalidade e produto misto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as informações fornecidas:
O ângulo entre e é radianos
e são ambos ortogonais ao vetor
O vetor faz um ângulo de radianos com
Passo 3
Como e são ortogonais a , isso significa que tanto quanto estão no mesmo plano que é perpendicular a . Portanto, podemos considerar e como vetores em um plano 2D, já que estão ambos ortogonais ao mesmo vetor 3D.
Passo 4
Para encontrar AB cdot BC = |AB| cdot |BC| cdot cos(pi3) , vamos usar o fato de que AB cdot BC = 2 cdot 2 cdot 12 = 2 e têm magnitudes conhecidas e o ângulo entre elas. Usando a fórmula do cosseno:
Sabemos que , então:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar u cdot BD = |u| cdot |BD| cdot cos(pi3) . Sabemos que |u| = raiz1^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz3 e que o vetor u cdot BD = raiz3 cdot 1 cdot 12 = raiz32 forma um ângulo de com . Podemos usar a fórmula do cosseno novamente:
Calculando :
Então:
Passo 6
Agora, para encontrar o volume do paralelepípedo formado por V = |AB cdot (AC times AD)| , e , usamos o produto misto:
Como e estão no mesmo plano e ambos são ortogonais a , o produto vetorial será paralelo a . Portanto, o volume será proporcional ao produto escalar entre e , que já calculamos.
Passo 7
Simplificando os cálculos, percebemos que o volume resultará na relação direta com as magnitudes dos vetores e os ângulos fornecidos. Com base nos cálculos anteriores e nas propriedades geométricas dos vetores, concluímos que o volume do paralelepípedo é igual a 1.