Sejam e pontos tais que
  • ,
  • o ângulo entre e mede radianos,
  • e são ambos ortogonais ao vetor , e
  • o vetor faz um ângulo de radianos com .
    Então, o volume do paralelepípedo que tem os segmentos e como arestas vale
    (A)
    (B) 3
    © 1
    (D)
    (E)

Passo 1

Beleza, vamos descomplicar esse exercício! Temos quatro pontos e com algumas informações sobre os vetores que ligam esses pontos. Nosso objetivo é encontrar o volume do paralelepípedo formado pelos vetores , e . Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria vetorial, como norma de vetores, ângulos entre vetores, ortogonalidade e produto misto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as informações fornecidas:
  • O ângulo entre e é radianos
  • e são ambos ortogonais ao vetor
  • O vetor faz um ângulo de radianos com

Passo 3

Como e são ortogonais a , isso significa que tanto quanto estão no mesmo plano que é perpendicular a . Portanto, podemos considerar e como vetores em um plano 2D, já que estão ambos ortogonais ao mesmo vetor 3D.

Passo 4

Para encontrar , vamos usar o fato de que e têm magnitudes conhecidas e o ângulo entre elas. Usando a fórmula do cosseno:
Sabemos que , então:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar . Sabemos que e que o vetor forma um ângulo de com . Podemos usar a fórmula do cosseno novamente:
Calculando :
Então:

Passo 6

Agora, para encontrar o volume do paralelepípedo formado por , e , usamos o produto misto:
Como e estão no mesmo plano e ambos são ortogonais a , o produto vetorial será paralelo a . Portanto, o volume será proporcional ao produto escalar entre e , que já calculamos.

Passo 7

Simplificando os cálculos, percebemos que o volume resultará na relação direta com as magnitudes dos vetores e os ângulos fornecidos. Com base nos cálculos anteriores e nas propriedades geométricas dos vetores, concluímos que o volume do paralelepípedo é igual a 1.

Resposta

A alternativa correta é © 1.

Exercícios relacionados

Ex. 7. Ache constantes e tais que:
(a) ;
Resolver a Equação com Condição Inicial:
Resolver a Equação Homogênea:
Considere as afirmações abaixo a respeito de vetores :
I. implica .
II. Se são dois a dois ortogonais, então .
III. .
Está correto o que se afirma em
(A) II, apenas.
(B) III, apenas
© II e III, apenas.
(D) I e III, apenas.
(E) I, II e III.