Resolver a Equação Homogênea:
d yd x+y=0

Passo 1

Primeiro, vamos ver o que o exercício está pedindo. Precisamos resolver a equação diferencial homogênea
d yd x + y = 0
Isso significa que queremos encontrar uma função que satisfaça essa relação. Para resolver essa equação, que é uma equação linear de primeira ordem, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Vamos começar organizando a equação no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem:
d yd x + P(x) y = Q(x)
No nosso caso, e .

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a simplificar a equação. O fator integrante mu(x) = e^integral P(x) dx é dado por:
mu(x) = e^integral 1 , dx = e^x
Como , temos:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante e^x d yd x + e^x y = 0 :
dd x ( e^x y ) = 0
Isso transforma a equação em:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a e^x y = C :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, isolamos y = C e^-x para encontrar a solução geral da equação:

Resposta

A solução geral da equação é , onde é uma constante qualquer.

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