Seja V=R^n. Se u=(x1, ldots, xn) in V e v=(y1, ldots, yn) in V. Verifique se V com as operações de adição
u+v=(x1, ldots, xn)
e multiplicação por escalar
a u=(a x1, ldots, a xn)
é um espaço vetorial sobre R.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para verificarmos se o conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas é um espaço vetorial sobre . Para isso, vamos precisar lembrar quais são as propriedades que um espaço vetorial deve satisfazer e verificar se essas operações as cumprem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as operações dadas:
  • Adição de vetores:
  • Multiplicação por escalar:
Aqui, e .

Passo 3

Vamos começar verificando a comutatividade da adição, que diz que u + v = (x1, ldots, xn) .
Segundo a definição dada:
v + u = (y1, ldots, yn)
Para que a adição seja comutativa, precisamos que . Isso só acontece se . Porém, não necessariamente todos os vetores são iguais, então a comutatividade não é satisfeita.

Passo 4

Como a comutatividade da adição não está satisfeita, já podemos concluir que u + 0 = (x1, ldots, xn) não é um espaço vetorial. Mas, para ficar claro, vamos verificar outra propriedade.
Vamos ver a existência do elemento neutro na adição, que deve ser um vetor tal que para todo .
Segundo a definição:
Precisamos que isso seja igual a . Na verdade, isso sempre é verdadeiro, então o elemento neutro existe. Mas como já falhamos na comutatividade, não importa se outras propriedades são satisfeitas.

Passo 5

Outra propriedade importante é a existência de inversos aditivos, ou seja, para cada u + (-u) = (x1, ldots, xn) , deve existir tal que .
Segundo a definição:
Para que isso seja igual a , precisaríamos que , o que só acontece se for o vetor nulo. Portanto, nem todo vetor tem inverso aditivo, violando mais uma propriedade necessária.

Passo 6

Além disso, a associatividade da adição também falha. Vamos ver:
(u + v) + w = (x1, ldots, xn) + w = (x1, ldots, xn)
u + (v + w) = u + (y1, ldots, yn) = (x1, ldots, xn)
Isso só seria igual se todos os vetores fossem iguais, o que não é o caso geral. Então, a associatividade também não é satisfeita.

Resposta

Então, como várias propriedades fundamentais de um espaço vetorial não são atendidas pelas operações definidas, com essas operações NÃO é um espaço vetorial sobre .

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