Seja
. Se
e
. Verifique se
com as operações de adição
e multiplicação por escalar
é um espaço vetorial sobre
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para verificarmos se o conjunto
com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas é um espaço vetorial sobre
. Para isso, vamos precisar lembrar quais são as propriedades que um espaço vetorial deve satisfazer e verificar se essas operações as cumprem.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as operações dadas:
- Adição de vetores:
- Multiplicação por escalar:
Aqui,
e
.
Passo 3
Vamos começar verificando a comutatividade da adição, que diz que
.
Segundo a definição dada:
Para que a adição seja comutativa, precisamos que
. Isso só acontece se
. Porém, não necessariamente todos os vetores são iguais, então a comutatividade não é satisfeita.
Passo 4
Como a comutatividade da adição não está satisfeita, já podemos concluir que
não é um espaço vetorial. Mas, para ficar claro, vamos verificar outra propriedade.
Vamos ver a existência do elemento neutro na adição, que deve ser um vetor
tal que
para todo
.
Segundo a definição:
Precisamos que isso seja igual a
. Na verdade, isso sempre é verdadeiro, então o elemento neutro existe. Mas como já falhamos na comutatividade, não importa se outras propriedades são satisfeitas.
Passo 5
Outra propriedade importante é a existência de inversos aditivos, ou seja, para cada
, deve existir
tal que
.
Segundo a definição:
Para que isso seja igual a
, precisaríamos que
, o que só acontece se
for o vetor nulo. Portanto, nem todo vetor tem inverso aditivo, violando mais uma propriedade necessária.
Passo 6
Além disso, a associatividade da adição também falha. Vamos ver:
Isso só seria igual se todos os vetores fossem iguais, o que não é o caso geral. Então, a associatividade também não é satisfeita.
Resposta
Então, como várias propriedades fundamentais de um espaço vetorial não são atendidas pelas operações definidas,
com essas operações NÃO é um espaço vetorial sobre
.