Usando um critério de sua escolha, determine se a série dada é convergente ou divergente:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série, que é tipo uma soma infinita, e a gente precisa descobrir se ela “converge” ou “diverge”. Isso significa ver se a soma chega a um número finito ou não. A série que a gente vai analisar é:
Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert), que é uma ferramenta bem útil para verificar a convergência de séries com termos que envolvem potências ou fatoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Razão. Ele funciona assim: a gente calcula o limite da razão entre o termo geral da série na posição e o termo na posição . Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não dá resposta.
Matematicamente, fica assim:
Onde é o termo geral da série.
Passo 3
Vamos aplicar isso na nossa série. Primeiro, vamos identificar o termo geral an = (7n + 38n + 9)^n :