Usando um critério de sua escolha, determine se a série dada é convergente ou divergente:
(i) sumn=1^infty(7 n+38 n+9)^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série, que é tipo uma soma infinita, e a gente precisa descobrir se ela “converge” ou “diverge”. Isso significa ver se a soma chega a um número finito ou não. A série que a gente vai analisar é:
sumn=1^infty(7n + 38n + 9)^n
Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert), que é uma ferramenta bem útil para verificar a convergência de séries com termos que envolvem potências ou fatoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Razão. Ele funciona assim: a gente calcula o limite da razão entre o termo geral da série na posição L = limn to infty | an+1an | e o termo na posição . Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não dá resposta.
Matematicamente, fica assim:
Onde é o termo geral da série.

Passo 3

Vamos aplicar isso na nossa série. Primeiro, vamos identificar o termo geral an = (7n + 38n + 9)^n :
an+1 = (7(n+1) + 38(n+1) + 9)^n+1 = (7n + 108n + 17)^n+1
Então, o termo seguinte seria:

Passo 4

Agora, vamos montar a razão an+1an = (7n + 108n + 17)^n+1(7n + 38n + 9)^n = (7n + 108n + 17)^n+1 cdot (8n + 97n + 3)^n :

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão. Podemos reescrever a razão como:
(7n + 108n + 17)^n cdot 7n + 108n + 17 cdot (8n + 97n + 3)^n
Isso pode ser simplificado para:
((7n + 10)(8n + 9)(8n + 17)(7n + 3))^n cdot 7n + 108n + 17

Passo 6

Agora, vamos analisar o comportamento desse limite quando (7n + 10)(8n + 9)(8n + 17)(7n + 3) = 56n^2 + (70 + 80)n + 9056n^2 + (136 + 21)n + 51 tende ao infinito. Para isso, focamos nos coeficientes de 56n^2 + 150n + 9056n^2 + 157n + 51 approx 56n^256n^2 = 1 nos numeradores e denominadores:
  • No numerador:
  • No denominador:
Então, a fração tende a 1 quando tende ao infinito. Mas precisamos considerar os termos de ordem inferior para ver se o limite é menor ou maior que 1.
Calculando mais detalhadamente:
Simplificando para grandes valores de :

Passo 7

Portanto, o limite L = limn to infty ((7n + 10)(8n + 9)(8n + 17)(7n + 3))^n cdot 7n + 108n + 17 = 1 cdot limn to infty 7n + 108n + 17 = 78 fica:

Passo 8

Como , segundo o Teste da Razão, a série converge.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados

Usando um critério de sua escolha, determine se a série dada é convergente ou divergente:
(g) sumn=1^infty sen n2^n+n^2
Usando um critério de sua escolha, determine se a série dada é convergente ou divergente:
(d) sumn=1^infty e^-n / 2
Usando um critério de sua escolha, determine se a série dada é convergente ou divergente:
(k) sumn=1^infty (-2)^n n3^n
Considere as afirmações abaixo:
(I) A série sumn=1^infty 1n é convergente.
(II) A série sumn=1^infty 4n(n+1) converge para 4 .
O que pode ser dito a respeito de tais afirmações?
(a) Apenas (I) está correta.
(b) Ambas estão corretas.
© Apenas (II) está correta.
(d) Ambas estão incorretas.