Encontre a fórmula para A^n em função de A e I e calcule A^100.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos uma fórmula para em função de e , e depois calcular . Estamos lidando com matrizes aqui, então vamos precisar lembrar de algumas propriedades de multiplicação de matrizes e de como elevar uma matriz a uma potência.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que para expressar de forma simplificada, podemos usar a diagonalização da matriz . Isso significa que podemos escrever como , onde é a matriz dos autovetores de e é uma matriz diagonal com os autovalores de na diagonal.

Passo 3

Uma vez que A^n = PD^nP^-1 está diagonalizada, calcular fica mais fácil. Basta elevar a matriz diagonal à potência , ou seja, , o que significa elevar cada elemento da diagonal a . Então, temos:

Passo 4

Agora, para encontrar uma expressão em termos de e , podemos usar a ideia de séries de potências ou decomposição de . No entanto, sem informações específicas sobre , a fórmula geral permanece .

Passo 5

Para calcular A^100 = PD^100P^-1 , seguimos o mesmo raciocínio. Primeiro diagonalizamos , elevamos a matriz diagonalizada à potência 100, e depois reconvertimos usando e :
Isso simplifica muito o cálculo, pois elevar uma matriz diagonal à potência 100 é tão simples quanto elevar cada elemento da diagonal à potência 100.

Resposta

Portanto, a fórmula para em função de e é , onde é a matriz diagonal dos autovalores de . Assim, .

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