Encontre a fórmula para
em função de
e
e calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos uma fórmula para
em função de
e
, e depois calcular
. Estamos lidando com matrizes aqui, então vamos precisar lembrar de algumas propriedades de multiplicação de matrizes e de como elevar uma matriz a uma potência.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que para expressar
de forma simplificada, podemos usar a diagonalização da matriz
. Isso significa que podemos escrever
como
, onde
é a matriz dos autovetores de
e
é uma matriz diagonal com os autovalores de
na diagonal.
Passo 3
Uma vez que
está diagonalizada, calcular
fica mais fácil. Basta elevar a matriz diagonal
à potência
, ou seja,
, o que significa elevar cada elemento da diagonal a
. Então, temos:
Passo 4
Agora, para encontrar uma expressão em termos de
e
, podemos usar a ideia de séries de potências ou decomposição de
. No entanto, sem informações específicas sobre
, a fórmula geral permanece
.
Passo 5
Para calcular
, seguimos o mesmo raciocínio. Primeiro diagonalizamos
, elevamos a matriz diagonalizada
à potência 100, e depois reconvertimos usando
e
:
Isso simplifica muito o cálculo, pois elevar uma matriz diagonal à potência 100 é tão simples quanto elevar cada elemento da diagonal à potência 100.
Resposta
Portanto, a fórmula para
em função de
e
é
, onde
é a matriz diagonal dos autovalores de
. Assim,
.
Exercícios relacionados
Se
denota o produto de
por
tomado
vezes, determine o valor do númen natural
tal que
onde
é a matriz identidade.
Considere as afirmações I,II, III e IV sobre vetores não nulos quaisquer:
(I) Se e
então
;
(III) Se e
então
.
(II) Se entāo
.
(IV) então
.
Quantas afirmações são verdadeiras?
Nenhumaduas
(I) Se
(III) Se
(II) Se
(IV)
Quantas afirmações são verdadeiras?
Mostre que
não é associativa, isto é,
.
Determine a matriz
tal que
onde