Considere as afirmações I,II, III e IV sobre vetores quaisquer:
(I) Se u | v e u | w então u |(v+w).
(II) Se u|u|=v|v| então u | v.
(III) Se u=v+w e v | w então |u|=|v|+|w|.
(IV) Se u perp v e v perp w então u perp w.
Quantas afirmações são verdadeiras (exatamente)?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre vetores. A gente vai analisar quatro afirmações para ver quais são sempre verdadeiras. Para isso, vamos usar conceitos de paralelismo e perpendicularidade entre vetores, além de entender um pouco sobre normas (as “tamanhos” dos vetores). Vamos precisar lembrar das definições de vetores paralelos, do que significa dois vetores serem perpendiculares e como calcular a norma de um vetor. Agora, vamos começar a resolver!

Passo 2

Afirmação I: Se u | v e u | w então u | (v+w).
Primeiro, lembremos que dois vetores são paralelos ( |) se um é múltiplo escalar do outro. Ou seja, u = kv e u = mw para alguns escalares k e m.
Se u é paralelo a v e a w, então v e w também devem ser paralelos entre si (pois ambos são múltiplos de u). Assim, v + w será um múltiplo de u, o que significa que u é paralelo a v + w. Portanto, a afirmação I é verdadeira.

Passo 3

Afirmação II: Se u|u| = v|v| então u | v.
Aqui, u|u| é o vetor unitário na direção de u. Se os vetores unitários de u e v são iguais, isso significa que eles têm a mesma direção. Então, u e v são múltiplos escalares um do outro, ou seja, são paralelos. Logo, a afirmação II é verdadeira.

Passo 4

Afirmação III: Se u = v + w e v | w então |u| = |v| + |w|.
Se v e w são paralelos, então elas apontam na mesma direção ou em direções opostas. Se forem na mesma direção, a norma de u será a soma das normas de v e w. Mas, se v e w apontarem em direções opostas, a norma de u será a diferença das normas. Portanto, a igualdade |u| = |v| + |w| nem sempre é verdadeira. Assim, a afirmação III é falsa.

Passo 5

Afirmação IV: Se u perp v e v perp w então u perp w.
Vamos usar a propriedade do produto escalar: se dois vetores são perpendiculares, o produto escalar entre eles é zero.
Sabemos que:
u perp v Rightarrow u cdot v = 0
v perp w Rightarrow v cdot w = 0
No entanto, isso não garante que u cdot w = 0. Por exemplo, considere em 3D:
u = (1, 0, 0), v = (0, 1, 0), w = (0, 0, 1)
Aqui, u perp v e v perp w, mas u não é perpendicular a w, pois u cdot w = 0. Mas, na verdade, esse exemplo mostrou que u perp w. Vamos tentar outro:
Considere:
u = (1, 0, 0), v = (0, 1, 0), w = (1, 0, 0)
Aqui, u perp v e v perp w, mas u não é perpendicular a w porque u cdot w = 1 neq 0. Portanto, a afirmação IV nem sempre é verdadeira.

Resposta

Dessas quatro afirmações, apenas I e II são verdadeiras. Portanto, duas afirmações são verdadeiras.

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