Considere as afirmações I,II, III e IV sobre vetores quaisquer:
(I) Se
e
então
.
(II) Se
então
.
(III) Se
e
então
.
(IV) Se
e
então
.
Quantas afirmações são verdadeiras (exatamente)?
(I) Se
(II) Se
(III) Se
(IV) Se
Quantas afirmações são verdadeiras (exatamente)?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre vetores. A gente vai analisar quatro afirmações para ver quais são sempre verdadeiras. Para isso, vamos usar conceitos de paralelismo e perpendicularidade entre vetores, além de entender um pouco sobre normas (as “tamanhos” dos vetores). Vamos precisar lembrar das definições de vetores paralelos, do que significa dois vetores serem perpendiculares e como calcular a norma de um vetor. Agora, vamos começar a resolver!
Passo 2
Afirmação I: Se
e
então
.
Primeiro, lembremos que dois vetores são paralelos (
) se um é múltiplo escalar do outro. Ou seja,
e
para alguns escalares
e
.
Se
é paralelo a
e a
, então
e
também devem ser paralelos entre si (pois ambos são múltiplos de
). Assim,
será um múltiplo de
, o que significa que
é paralelo a
. Portanto, a afirmação I é verdadeira.
Passo 3
Afirmação II: Se
então
.
Aqui,
é o vetor unitário na direção de
. Se os vetores unitários de
e
são iguais, isso significa que eles têm a mesma direção. Então,
e
são múltiplos escalares um do outro, ou seja, são paralelos. Logo, a afirmação II é verdadeira.
Passo 4
Afirmação III: Se
e
então
.
Se
e
são paralelos, então elas apontam na mesma direção ou em direções opostas. Se forem na mesma direção, a norma de
será a soma das normas de
e
. Mas, se
e
apontarem em direções opostas, a norma de
será a diferença das normas. Portanto, a igualdade
nem sempre é verdadeira. Assim, a afirmação III é falsa.
Passo 5
Afirmação IV: Se
e
então
.
Vamos usar a propriedade do produto escalar: se dois vetores são perpendiculares, o produto escalar entre eles é zero.
Sabemos que:
No entanto, isso não garante que
. Por exemplo, considere em 3D:
Aqui,
e
, mas
não é perpendicular a
, pois
. Mas, na verdade, esse exemplo mostrou que
. Vamos tentar outro:
Considere:
Aqui,
e
, mas
não é perpendicular a
porque
. Portanto, a afirmação IV nem sempre é verdadeira.
Resposta
Dessas quatro afirmações, apenas I e II são verdadeiras. Portanto, duas afirmações são verdadeiras.
Exercícios relacionados
Encontre a medida em radianos do ângulo entre os vetores
e
nos seguintes casos:
(i) e
;
(ii) e
;
(iii) e
;
(iv) e
.
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Considere os vetores
e
.
(i) Calcule .
(ii) Calcule o seno do ângulo entre .
(i) Calcule
(ii) Calcule o seno do ângulo entre
Duas partículas se movem ao longo das curvas espaciais
e
. As partículas colidem? Suas trajetórias se interceptam? Como ficaria a situação das partículas se a trajetória da segunda partícula,
, fosse a reta
da questảo 1 ?
Encontre a solução de cada p.v.i. dado:
b.
b.