Encontre a medida em radianos do ângulo entre os vetores
e
nos seguintes casos:
(i)
e
;
(ii)
e
;
(iii)
e
;
(iv)
e
.
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a medida em radianos do ângulo entre dois vetores em quatro casos diferentes. Para isso, vamos usar conceitos de produto escalar e magnitude de vetores da matéria de álgebra vetorial. Precisamos calcular o produto escalar dos vetores e as magnitudes de cada vetor para aplicar a fórmula que relaciona essas grandezas com o ângulo entre eles.
Passo 2
Caso (i):
e
-
Produto Escalar (
): -
Magnitudes dos Vetores:
-
Cálculo do Cosseno do Ângulo:
-
Determinação do Ângulo:Como
, o ângulo radianos.
Passo 3
Caso (ii):
e
-
Produto Escalar (
): -
Magnitudes dos Vetores:
-
Cálculo do Cosseno do Ângulo:
-
Determinação do Ângulo:
Passo 4
Caso (iii):
e
-
Produto Escalar (
): -
Magnitudes dos Vetores:
-
Cálculo do Cosseno do Ângulo:
-
Determinação do Ângulo:
Passo 5
Caso (iv):
e
-
Produto Escalar (
): -
Magnitudes dos Vetores:
||v|| = raiz(raiz32)^2 + (12)^2 + (raiz3)^2 = raiz34 + 14 + 3 = raiz4 = 2 -
Cálculo do Cosseno do Ângulo:
cos(theta) = 11 times 2 = 12 -
Determinação do Ângulo:
theta = arccos(12) = pi3 radianos
Resposta
As medidas em radianos dos ângulos entre os vetores são:
(i)
pi2 radianos;
(ii)
pi4 radianos;
(iii) aproximadamente
0,775 radianos;
(iv)
pi3 radianos.
Exercícios relacionados
Considere os vetores
u=(2,-3,2) e
v=(4,-1,2) .
(i) Calculeu wed>= v .
(ii) Calcule o seno do ângulo entreu e v .
(i) Calcule
(ii) Calcule o seno do ângulo entre
Considere os vetores
(i) Calcule
|u| e|v| ;
(ii) Calculeu cdot v ;
(iii) Determinem tal que
u seja ortogonal a
w ;
(iv) Calcule o ângulo deu e
v .
(ii) Calcule
(iii) Determine
(iv) Calcule o ângulo de
Considere as afirmações I,II, III e IV sobre vetores quaisquer:
(I) Seu | v e
u | w então
u |(v+w) .
(II) Seu|u|=v|v| então
u | v .
(III) Seu=v+w e
v | w então
|u|=|v|+|w| .
(IV) Seu perp v e
v perp w então
u perp w .
Quantas afirmações são verdadeiras (exatamente)?
(I) Se
(II) Se
(III) Se
(IV) Se
Quantas afirmações são verdadeiras (exatamente)?
Duas partículas se movem ao longo das curvas espaciais
r1(t)=
(t, t^2, t^3) e
r2(t)=(1+2 t, 1+6 t, 1+14 t) . As partículas colidem? Suas trajetórias se interceptam? Como ficaria a situação das partículas se a trajetória da segunda partícula,
r2(t) , fosse a reta
s da questảo 1 ?