Encontre a medida em radianos do ângulo entre os vetores u e v nos seguintes casos:
(i) u=(1,0,1) e v=(-2,10,2);
(ii) u=(3,3,0) e v=(2,1,-2);
(iii) u=(-1,1,1) e v=(-2,10,2);
(iv) u=(raiz32, 12, 0) e v=(raiz32, 12, raiz3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a medida em radianos do ângulo entre dois vetores em quatro casos diferentes. Para isso, vamos usar conceitos de produto escalar e magnitude de vetores da matéria de álgebra vetorial. Precisamos calcular o produto escalar dos vetores e as magnitudes de cada vetor para aplicar a fórmula que relaciona essas grandezas com o ângulo entre eles.

Passo 2

Caso (i): u = (1, 0, 1) e v = (-2, 10, 2)
  1. Produto Escalar ( u cdot v):
    u cdot v = (1)(-2) + (0)(10) + (1)(2) = -2 + 0 + 2 = 0
  2. Magnitudes dos Vetores:
    ||u|| = raiz1^2 + 0^2 + 1^2 = raiz1 + 0 + 1 = raiz2
    ||v|| = raiz(-2)^2 + 10^2 + 2^2 = raiz4 + 100 + 4 = raiz108 = 6raiz3
  3. Cálculo do Cosseno do Ângulo:
    cos(theta) = u cdot v||u|| , ||v|| = 0raiz2 times 6raiz3 = 0
  4. Determinação do Ângulo:
    Como cos(theta) = 0, o ângulo theta = pi2 radianos.

Passo 3

Caso (ii): u = (3, 3, 0) e v = (2, 1, -2)
  1. Produto Escalar ( u cdot v):
    u cdot v = (3)(2) + (3)(1) + (0)(-2) = 6 + 3 + 0 = 9
  2. Magnitudes dos Vetores:
    ||u|| = raiz3^2 + 3^2 + 0^2 = raiz9 + 9 + 0 = raiz18 = 3raiz2
    ||v|| = raiz2^2 + 1^2 + (-2)^2 = raiz4 + 1 + 4 = raiz9 = 3
  3. Cálculo do Cosseno do Ângulo:
    cos(theta) = 93raiz2 times 3 = 99raiz2 = 1raiz2
  4. Determinação do Ângulo:
    theta = arccos(1raiz2) = pi4 radianos

Passo 4

Caso (iii): u = (-1, 1, 1) e v = (-2, 10, 2)
  1. Produto Escalar ( u cdot v):
    u cdot v = (-1)(-2) + (1)(10) + (1)(2) = 2 + 10 + 2 = 14
  2. Magnitudes dos Vetores:
    ||u|| = raiz(-1)^2 + 1^2 + 1^2 = raiz1 + 1 + 1 = raiz3
    ||v|| = raiz(-2)^2 + 10^2 + 2^2 = raiz4 + 100 + 4 = raiz108 = 6raiz3
  3. Cálculo do Cosseno do Ângulo:
    cos(theta) = 14raiz3 times 6raiz3 = 1418 = 79
  4. Determinação do Ângulo:
    theta = arccos(79) approx 0,775 radianos

Passo 5

Caso (iv): u = (raiz32, 12, 0) e v = (raiz32, 12, raiz3)
  1. Produto Escalar ( u cdot v):
    u cdot v = (raiz32)^2 + (12)^2 + (0)(raiz3) = 34 + 14 + 0 = 1
  2. Magnitudes dos Vetores:
    ||u|| = raiz(raiz32)^2 + (12)^2 + 0^2 = raiz34 + 14 = raiz1 = 1
    ||v|| = raiz(raiz32)^2 + (12)^2 + (raiz3)^2 = raiz34 + 14 + 3 = raiz4 = 2
  3. Cálculo do Cosseno do Ângulo:
    cos(theta) = 11 times 2 = 12
  4. Determinação do Ângulo:
    theta = arccos(12) = pi3 radianos

Resposta

As medidas em radianos dos ângulos entre os vetores são:
(i) pi2 radianos;
(ii) pi4 radianos;
(iii) aproximadamente 0,775 radianos;
(iv) pi3 radianos.

Exercícios relacionados

Considere os vetores u=(2,-3,2) e v=(4,-1,2).
(i) Calcule u wed>= v.
(ii) Calcule o seno do ângulo entre u e v.
Considere os vetores
u=2 i-j+3 k, v=4 i+5 j+1 k, w=3 i-j+m k
(i) Calcule |u| e|v|;
(ii) Calcule u cdot v;
(iii) Determine m tal que u seja ortogonal a w;
(iv) Calcule o ângulo de u e v.
Considere as afirmações I,II, III e IV sobre vetores quaisquer:
(I) Se u | v e u | w então u |(v+w).
(II) Se u|u|=v|v| então u | v.
(III) Se u=v+w e v | w então |u|=|v|+|w|.
(IV) Se u perp v e v perp w então u perp w.
Quantas afirmações são verdadeiras (exatamente)?
Duas partículas se movem ao longo das curvas espaciais r1(t)= (t, t^2, t^3) e r2(t)=(1+2 t, 1+6 t, 1+14 t). As partículas colidem? Suas trajetórias se interceptam? Como ficaria a situação das partículas se a trajetória da segunda partícula, r2(t), fosse a reta s da questảo 1 ?