Considere os vetores e .
(i) Calcule .
(ii) Calcule o seno do ângulo entre .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores no espaço tridimensional: e . A gente precisa:
Calcular o produto vetorial .
Encontrar o seno do ângulo entre e .
Para isso, vamos usar conhecimentos de álgebra vetorial, mais especificamente sobre produto vetorial e relação entre vetores e ângulos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial . O produto vetorial entre dois vetores em 3D resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A fórmula para calcular o produto vetorial é:
Onde i, j e k são os vetores unitários nas direções x, y e z, respectivamente.
Passo 3
Vamos montar a matriz com os componentes dos vetores u e v:
u wed>= v = i & j & k 2 & -3 & 2 4 & -1 & 2
Calculando o determinante:
u wed>= v = i cdot [(-3)(2) - (2)(-1)] - j cdot [(2)(2) - (2)(4)] + k cdot [(2)(-1) - (-3)(4)]
Simplificando cada termo:
u wed>= v = i cdot (-6 + 2) - j cdot (4 - 8) + k cdot (-2 + 12)
u wed>= v = i cdot (-4) - j cdot (-4) + k cdot (10)
Portanto:
u wed>= v = (-4, 4, 10)
Passo 4
Agora, vamos calcular o seno do ângulo entre os vetores u e v. A relação entre o produto vetorial e o seno do ângulo é dada por:
Onde |u wed>= v| = |u| cdot |v| cdot sen(theta) é a magnitude do produto vetorial, |u wed>= v| e |u| são as magnitudes dos vetores |v| e u, respectivamente, e v é o ângulo entre eles.