Considere os vetores u=(2,-3,2) e v=(4,-1,2).
(i) Calcule u wed>= v.
(ii) Calcule o seno do ângulo entre u e v.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores no espaço tridimensional: u = (2, -3, 2) e v = (4, -1, 2). A gente precisa:
  1. Calcular o produto vetorial u wed>= v.
  2. Encontrar o seno do ângulo entre u e v.
Para isso, vamos usar conhecimentos de álgebra vetorial, mais especificamente sobre produto vetorial e relação entre vetores e ângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial u wed>= v. O produto vetorial entre dois vetores em 3D resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A fórmula para calcular o produto vetorial é:
u wed>= v = i & j & k u1 & u2 & u3 v1 & v2 & v3
Onde i, j e k são os vetores unitários nas direções x, y e z, respectivamente.

Passo 3

Vamos montar a matriz com os componentes dos vetores u e v:
u wed>= v = i & j & k 2 & -3 & 2 4 & -1 & 2
Calculando o determinante:
u wed>= v = i cdot [(-3)(2) - (2)(-1)] - j cdot [(2)(2) - (2)(4)] + k cdot [(2)(-1) - (-3)(4)]
Simplificando cada termo:
u wed>= v = i cdot (-6 + 2) - j cdot (4 - 8) + k cdot (-2 + 12)
u wed>= v = i cdot (-4) - j cdot (-4) + k cdot (10)
Portanto:
u wed>= v = (-4, 4, 10)

Passo 4

Agora, vamos calcular o seno do ângulo entre os vetores u e v. A relação entre o produto vetorial e o seno do ângulo é dada por:
Onde |u wed>= v| = |u| cdot |v| cdot sen(theta) é a magnitude do produto vetorial, |u wed>= v| e |u| são as magnitudes dos vetores |v| e u, respectivamente, e v é o ângulo entre eles.
Para encontrar , precisamos calcular:

Passo 5

Vamos calcular as magnitudes dos vetores:
Para u = (2, -3, 2):
|u| = raiz2^2 + (-3)^2 + 2^2 = raiz4 + 9 + 4 = raiz17
Para v = (4, -1, 2):
|v| = raiz4^2 + (-1)^2 + 2^2 = raiz16 + 1 + 4 = raiz21
E a magnitude do produto vetorial u wed>= v = (-4, 4, 10):
|u wed>= v| = raiz(-4)^2 + 4^2 + 10^2 = raiz16 + 16 + 100 = raiz132 = 2raiz33

Passo 6

Agora, vamos substituir esses valores na fórmula do seno:
Podemos simplificar sen(theta) = 2raiz33raiz17 cdot raiz21 = 2raiz33raiz357 = 2raiz33raiz357 :
raiz357
Portanto:

Resposta

(i) O produto vetorial é u wed>= v = (-4, 4, 10).
(ii) O seno do ângulo entre u e v é aproximadamente 0.608.

Exercícios relacionados

Considere os vetores
u=2 i-j+3 k, v=4 i+5 j+1 k, w=3 i-j+m k
(i) Calcule |u| e|v|;
(ii) Calcule u cdot v;
(iii) Determine m tal que u seja ortogonal a w;
(iv) Calcule o ângulo de u e v.
Determine m de modo que os vetores abaixo sejam LD.
(i) u=(m, 1, m) e v=(1, m, 1).
(ii) u=(1-m^2, 1-m, 0) e v=(m, m, m).
(iii) u=(1,3,5) e v=(2,1+m, 10).
(iv) u=(m, 1, m+1), v=(0,1, m) e w=(0, m, 2 m).
Encontre a medida em radianos do ângulo entre os vetores u e v nos seguintes casos:
(i) u=(1,0,1) e v=(-2,10,2);
(ii) u=(3,3,0) e v=(2,1,-2);
(iii) u=(-1,1,1) e v=(-2,10,2);
(iv) u=(raiz32, 12, 0) e v=(raiz32, 12, raiz3).
Considere as afirmações I,II, III e IV sobre vetores quaisquer:
(I) Se u | v e u | w então u |(v+w).
(II) Se u|u|=v|v| então u | v.
(III) Se u=v+w e v | w então |u|=|v|+|w|.
(IV) Se u perp v e v perp w então u perp w.
Quantas afirmações são verdadeiras (exatamente)?