Duas partículas se movem ao longo das curvas espaciais r1(t)= (t, t^2, t^3) e r2(t)=(1+2 t, 1+6 t, 1+14 t). As partículas colidem? Suas trajetórias se interceptam? Como ficaria a situação das partículas se a trajetória da segunda partícula, r2(t), fosse a reta s da questảo 1 ?

Passo 1

Vamos resolver o exercício que envolve o movimento de duas partículas ao longo de curvas espaciais. O objetivo é determinar se as partículas colidem, se suas trajetórias se interceptam e como a situação mudaria se a trajetória da segunda partícula fosse uma reta específica. Para isso, vamos utilizar conceitos de vetores posição, igualdade de vetores para colisão e interseção de curvas no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se as partículas colidem. Isso acontece quando elas estão no mesmo ponto no mesmo instante de tempo. Ou seja, precisamos encontrar um valor de r1(t) = (t, t^2, t^3) tal que r2(t) = (1 + 2t, 1 + 6t, 1 + 14t) .
As funções de posição são:
t = 1 + 2t (1)
t^2 = 1 + 6t (2)
Igualando as componentes correspondentes:
t^3 = 1 + 14t (3)
t = 1 + 2t Rightarrow t - 2t = 1 Rightarrow -t = 1 Rightarrow t = -1
(-1)^2 = 1 + 6(-1) Rightarrow 1 = 1 - 6 Rightarrow 1 = -5 (Falso)
Vamos resolver a equação (1):
Agora, verificamos se satisfaz as equações (2) e (3):
Para a equação (2):
Como não satisfaz a equação (2), as partículas não colidem.

Passo 3

Agora, vamos verificar se as trajetórias das partículas se interceptam, ou seja, se existe algum ponto que pertence a ambas as curvas, independentemente do tempo. Para isso, precisamos encontrar pontos x = t y = t^2 z = t^3 e x = 1 + 2t' y = 1 + 6t' z = 1 + 14t' que satisfazem tanto t = 1 + 2t' (4) quanto t^2 = 1 + 6t' (5) , para alguns valores de t^3 = 1 + 14t' (6) e (1 + 2t')^2 = 1 + 6t' Rightarrow 1 + 4t' + 4t'^2 = 1 + 6t' Rightarrow 4t'^2 + 4t' + 1 = 1 + 6t' .
As equações são:
4t'^2 + 4t' = 6t' Rightarrow 4t'^2 - 2t' = 0 Rightarrow t'(4t' - 2) = 0
Igualando as componentes:
t = 1 + 2(0) = 1
y = 1^2 = 1 e y = 1 + 6(0) = 1 (Igual)
z = 1^3 = 1 e z = 1 + 14(0) = 1 (Igual)
Substituindo da equação (4) na equação (5):
Simplificando:
Assim, ou .
Verificando para :
Portanto, resulta em , e as coordenadas são . As trajetórias se interceptam no ponto .

Passo 4

Para a última parte, vamos analisar como ficaria a situação se a trajetória da segunda partícula fosse a reta s(t) = a + tb da questão 1. Supondo que a reta seja definida parametricamente por alguma expressão linear, por exemplo:
Sem a definição específica da reta , não podemos dar uma resposta numérica exata. No entanto, geralmente, ao alterar uma trajetória para uma reta, a possibilidade de interseção com outra curva dependerá dos parâmetros da reta. Se a reta passa pelo ponto e tem uma direção compatível, pode ocorrer interseção adicional ou até colisão dependendo das condições temporais.

Resposta

As partículas não colidem, mas suas trajetórias se interceptam no ponto . Se a trajetória da segunda partícula fosse uma reta específica , a interseção dependeria das características dessa reta, podendo alterar a possibilidade de colisão ou múltiplos pontos de interseção.

Exercícios relacionados

Considere as afirmações I,II, III e IV sobre vetores quaisquer:
(I) Se u | v e u | w então u |(v+w).
(II) Se u|u|=v|v| então u | v.
(III) Se u=v+w e v | w então |u|=|v|+|w|.
(IV) Se u perp v e v perp w então u perp w.
Quantas afirmações são verdadeiras (exatamente)?
Encontre a medida em radianos do ângulo entre os vetores u e v nos seguintes casos:
(i) u=(1,0,1) e v=(-2,10,2);
(ii) u=(3,3,0) e v=(2,1,-2);
(iii) u=(-1,1,1) e v=(-2,10,2);
(iv) u=(raiz32, 12, 0) e v=(raiz32, 12, raiz3).
Encontre a solução de cada p.v.i. dado:
b. x^prime=(ll-3 & 2 -1 & 1) x
x(0)=binom1-2
Encontre a solução de cada p.v.i. abaixo:
b. x^prime=(cc3 & 9 -1 & -3) x x(0)=binom24