Duas partículas se movem ao longo das curvas espaciais e . As partículas colidem? Suas trajetórias se interceptam? Como ficaria a situação das partículas se a trajetória da segunda partícula, , fosse a reta da questảo 1 ?
Passo 1
Vamos resolver o exercício que envolve o movimento de duas partículas ao longo de curvas espaciais. O objetivo é determinar se as partículas colidem, se suas trajetórias se interceptam e como a situação mudaria se a trajetória da segunda partícula fosse uma reta específica. Para isso, vamos utilizar conceitos de vetores posição, igualdade de vetores para colisão e interseção de curvas no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se as partículas colidem. Isso acontece quando elas estão no mesmo ponto no mesmo instante de tempo. Ou seja, precisamos encontrar um valor de tal que .
As funções de posição são:
Igualando as componentes correspondentes:
Vamos resolver a equação (1):
Agora, verificamos se satisfaz as equações (2) e (3):
Para a equação (2):
Como não satisfaz a equação (2), as partículas não colidem.
Passo 3
Agora, vamos verificar se as trajetórias das partículas se interceptam, ou seja, se existe algum ponto que pertence a ambas as curvas, independentemente do tempo. Para isso, precisamos encontrar pontos que satisfazem tanto quanto , para alguns valores de e .
As equações são:
Igualando as componentes:
t = 1 + 2(0) = 1
y = 1^2 = 1 e y = 1 + 6(0) = 1 (Igual)
z = 1^3 = 1 e z = 1 + 14(0) = 1 (Igual)
Substituindo da equação (4) na equação (5):
Simplificando:
Assim, ou .
Verificando para :
Portanto, resulta em , e as coordenadas são . As trajetórias se interceptam no ponto .
Passo 4
Para a última parte, vamos analisar como ficaria a situação se a trajetória da segunda partícula fosse a reta s(t) = a + tb da questão 1. Supondo que a reta seja definida parametricamente por alguma expressão linear, por exemplo:
Sem a definição específica da reta , não podemos dar uma resposta numérica exata. No entanto, geralmente, ao alterar uma trajetória para uma reta, a possibilidade de interseção com outra curva dependerá dos parâmetros da reta. Se a reta passa pelo ponto e tem uma direção compatível, pode ocorrer interseção adicional ou até colisão dependendo das condições temporais.
Resposta
As partículas não colidem, mas suas trajetórias se interceptam no ponto . Se a trajetória da segunda partícula fosse uma reta específica , a interseção dependeria das características dessa reta, podendo alterar a possibilidade de colisão ou múltiplos pontos de interseção.