Encontre a solução de cada p.v.i. dado:
b.
b.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que foi dado. O enunciado pede pra gente encontrar a solução do sistema
com a condição inicial
. A matéria que vamos usar aqui é a de sistemas lineares de equações diferenciais com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores da matriz, montar a solução geral e aplicar a condição inicial pra encontrar as constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz
. Os autovalores
são encontrados resolvendo a equação característica
.
Passo 3
Calculando o determinante:
Expandindo:
Passo 4
Agora, resolvemos a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os autovalores são
e
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Vamos começar com
.
Resolvendo
:
Vamos considerar a primeira linha:
Podemos escolher
, então
. Portanto, o autovetor
é
.
Passo 6
Agora, fazemos o mesmo para
.
Resolvendo
:
Considerando a primeira linha:
Escolhendo
, temos
. Então, o autovetor
é
.
Passo 7
Com os autovalores e autovetores, podemos escrever a solução geral do sistema:
Substituindo os valores encontrados:
Passo 8
Agora, aplicamos a condição inicial
:
Isso resulta no sistema de equações:
Passo 9
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, . Substituindo na segunda:
Da primeira equação,
Expandindo:
Simplificando:
Então,
E,
Resposta
A solução do sistema é:
Exercícios relacionados
Duas partículas se movem ao longo das curvas espaciais
e
. As partículas colidem? Suas trajetórias se interceptam? Como ficaria a situação das partículas se a trajetória da segunda partícula,
, fosse a reta
da questảo 1 ?
Considere as afirmações I,II, III e IV sobre vetores quaisquer:
(I) Se e
então
.
(II) Se então
.
(III) Se e
então
.
(IV) Se e
então
.
Quantas afirmações são verdadeiras (exatamente)?
(I) Se
(II) Se
(III) Se
(IV) Se
Quantas afirmações são verdadeiras (exatamente)?
Encontre a solução de cada p.v.i. abaixo:
b.
b.
Determine os pontos que dividem
em quatro partes iguais quando
e
.