Encontre a solução de cada p.v.i. dado:
b. x^prime=(ll-3 & 2 -1 & 1) x
x(0)=binom1-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que foi dado. O enunciado pede pra gente encontrar a solução do sistema -3 & 2 -1 & 1 com a condição inicial 1 -2 . A matéria que vamos usar aqui é a de sistemas lineares de equações diferenciais com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores da matriz, montar a solução geral e aplicar a condição inicial pra encontrar as constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz -3 & 2 -1 & 1 . Os autovalores são encontrados resolvendo a equação característica .

Passo 3

Calculando o determinante:
det( -3 - lambda & 2 -1 & 1 - lambda ) = (-3 - lambda)(1 - lambda) - (2)(-1) = 0
Expandindo:
(-3 - lambda)(1 - lambda) + 2 = (lambda + 3)(lambda - 1) + 2 = lambda^2 + 3lambda - lambda - 3 + 2 = lambda^2 + 2lambda -1 = 0

Passo 4

Agora, resolvemos a equação quadrática lambda = -2 pm raiz(2)^2 - 4(1)(-1)2(1) = -2 pm raiz4 + 42 = -2 pm raiz82 = -2 pm 2raiz22 = -1 pm raiz2 usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os autovalores são e .

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Vamos começar com -3 - (-1 + raiz2) & 2 -1 & 1 - (-1 + raiz2) = -2 - raiz2 & 2 -1 & 2 - raiz2 .
Resolvendo (-2 - raiz2)v1 + 2v2 = 0 Rightarrow v2 = 2 + raiz22 v1 = (1 + raiz22) v1 :
1 1 + raiz22
Vamos considerar a primeira linha:
Podemos escolher , então . Portanto, o autovetor é .

Passo 6

Agora, fazemos o mesmo para -3 - (-1 - raiz2) & 2 -1 & 1 - (-1 - raiz2) = -2 + raiz2 & 2 -1 & 2 + raiz2 .
Resolvendo (-2 + raiz2)v1 + 2v2 = 0 Rightarrow v2 = 2 - raiz22 v1 = (1 - raiz22) v1 :
1 1 - raiz22
Considerando a primeira linha:
Escolhendo , temos . Então, o autovetor é .

Passo 7

Com os autovalores e autovetores, podemos escrever a solução geral do sistema:
x(t) = c1 e^lambda1 t v1 + c2 e^lambda2 t v2
Substituindo os valores encontrados:
x(t) = c1 e^(-1 + raiz2)t 1 1 + raiz22 + c2 e^(-1 - raiz2)t 1 1 - raiz22

Passo 8

Agora, aplicamos a condição inicial 1 -2 :
x(0) = c1 1 1 + raiz22 + c2 1 1 - raiz22 = 1 -2
Isso resulta no sistema de equações:
c1 + c2 = 1
c1 (1 + raiz22) + c2 (1 - raiz22) = -2

Passo 9

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, c1 (1 + raiz22) + (1 - c1) (1 - raiz22) = -2 . Substituindo na segunda:
c1 + raiz22c1 + 1 - raiz22 - c1 + raiz22c1 = -2
Expandindo:
c1 raiz2 + 1 - raiz22 = -2
Simplificando:
c1 raiz2 = -3 + raiz22 Rightarrow c1 = -3 + raiz22raiz2 = -3raiz2 + 12
Então,
c2 = 1 - c1 = 1 + 3raiz2 - 12 = 12 + 3raiz2
E,

Resposta

A solução do sistema é:
x(t) = (-3raiz2 + 12) e^(-1 + raiz2)t 1 1 + raiz22 + (12 + 3raiz2) e^(-1 - raiz2)t 1 1 - raiz22

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