Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
possui 2 autovalores reais distintos com multiplicidade geométrica 15 e 21 respectivamente, então
é diagonalizável.
II - Se
diagonal e
com
, então
é diagonalizável.
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Todas são falsas.
© Todas são verdadeiras.
(D) Apenas II é verdadeira.
(E) Não sei
I - Se
II - Se
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Todas são falsas.
© Todas são verdadeiras.
(D) Apenas II é verdadeira.
(E) Não sei
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão apresenta duas afirmações sobre matrizes e diagonalização. Para resolver, precisamos entender autovalores, multiplicidade geométrica e o que significa uma matriz ser diagonalizável. Além disso, vamos mexer com similaridade de matrizes usando uma matriz invertível
.
Passo 2
Primeira afirmação:
Temos uma transformação linear
que possui dois autovalores reais distintos com multiplicidades geométricas 15 e 21.
Para uma matriz ser diagonalizável, a soma das multiplicidades geométricas dos seus autovalores precisa ser igual à dimensão do espaço, que aqui é 36. Então,
Como a soma bate certinho com a dimensão, isso garante que
é diagonalizável. Portanto, a primeira afirmação é verdadeira.
Passo 3
Segunda afirmação:
Temos que
, onde
é uma matriz diagonal e
é uma matriz invertível (
).
Essa relação significa que
é similar a
através de
:
Como
é diagonal e
é similar a uma matriz diagonal, então
também é diagonalizável. Logo, a segunda afirmação é verdadeira.
Resposta
© Todas são verdadeiras.