Considere as afirmativas abaixo:
I - Se R: R^36 R^36 possui 2 autovalores reais distintos com multiplicidade geométrica 15 e 21 respectivamente, então R é diagonalizável.
II - Se U E=E D, D diagonal e E n times n com Ker E=0, então U é diagonalizável.
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Todas são falsas.
© Todas são verdadeiras.
(D) Apenas II é verdadeira.
(E) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão apresenta duas afirmações sobre matrizes e diagonalização. Para resolver, precisamos entender autovalores, multiplicidade geométrica e o que significa uma matriz ser diagonalizável. Além disso, vamos mexer com similaridade de matrizes usando uma matriz invertível .

Passo 2

Primeira afirmação:
Temos uma transformação linear 15 + 21 = 36 que possui dois autovalores reais distintos com multiplicidades geométricas 15 e 21.
Para uma matriz ser diagonalizável, a soma das multiplicidades geométricas dos seus autovalores precisa ser igual à dimensão do espaço, que aqui é 36. Então,
Como a soma bate certinho com a dimensão, isso garante que é diagonalizável. Portanto, a primeira afirmação é verdadeira.

Passo 3

Segunda afirmação:
Temos que U = E D E^-1 , onde é uma matriz diagonal e é uma matriz invertível ( ).
Essa relação significa que é similar a através de :
Como é diagonal e é similar a uma matriz diagonal, então também é diagonalizável. Logo, a segunda afirmação é verdadeira.

Resposta

© Todas são verdadeiras.

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