Considere as afirmativas abaixo:
I - Se T é uma reflexão em torno de um plano do R^3, então det(T-2 I)=0.
II - Se P é uma projeção ortogonal em uma reta do R^3, então det(P-I) neq 0.
(A) Todas são verdadeiras.
(B) Apenas I é verdadeira.
© Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são falsas.
(E) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Aqui a gente está lidando com Transformações Lineares no espaço tridimensional ( R^3). Precisamos analisar duas afirmações sobre determinantes de certas transformações e ver quais são verdadeiras.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a afirmação I: “Se T é uma reflexão em torno de um plano do R^3, então det(T - 2 I) = 0.”
Uma reflexão em torno de um plano no R^3 é uma transformação linear que “espelha” pontos em relação a esse plano. As propriedades importantes aqui são os autovalores dessa transformação. Em uma reflexão em um plano, os vetores que estão no plano permanecem inalterados (autovalor 1), e o vetor perpendicular ao plano é invertido (autovalor -1).
Agora, para calcular det(T - 2 I), usamos os autovalores de T. Sabendo que os autovalores são 1 (com multiplicidade 2) e -1, substituímos na expressão:
det(T - 2 I) = (1 - 2)^2 times (-1 - 2) = (-1)^2 times (-3) = 1 times (-3) = -3
Então, det(T - 2 I) = -3, que não é igual a zero. Portanto, a afirma��ão I é falsa.

Passo 3

Agora vamos para a afirmação II: “Se P é uma projeção ortogonal em uma reta do R^3, então det(P - I) neq 0.”
Uma projeção ortogonal em uma reta no R^3 pega qualquer vetor e o “projeta” ao longo de direções perpendiculares à reta. Os autovalores dessa projeção são 1 (para vetores na reta) e 0 (para vetores perpendiculares à reta).
Para calcular det(P - I), usamos os autovalores de P:
det(P - I) = (1 - 1) times (0 - 1) times (0 - 1) = 0 times (-1) times (-1) = 0
Então, det(P - I) = 0, que é igual a zero. Portanto, a afirmação II é falsa.

Resposta

A opção correta é (D) Todas são falsas.

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