Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
é uma reflexão em torno de um plano do
, então
.
II - Se
é uma projeção ortogonal em uma reta do
, então
.
(A) Todas são verdadeiras.
(B) Apenas I é verdadeira.
© Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são falsas.
(E) Não sei
I - Se
II - Se
(A) Todas são verdadeiras.
(B) Apenas I é verdadeira.
© Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são falsas.
(E) Não sei
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Aqui a gente está lidando com Transformações Lineares no espaço tridimensional (
). Precisamos analisar duas afirmações sobre determinantes de certas transformações e ver quais são verdadeiras.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a afirmação I: “Se
é uma reflexão em torno de um plano do
, então
.”
Uma reflexão em torno de um plano no
é uma transformação linear que “espelha” pontos em relação a esse plano. As propriedades importantes aqui são os autovalores dessa transformação. Em uma reflexão em um plano, os vetores que estão no plano permanecem inalterados (autovalor 1), e o vetor perpendicular ao plano é invertido (autovalor -1).
Agora, para calcular
, usamos os autovalores de
. Sabendo que os autovalores são 1 (com multiplicidade 2) e -1, substituímos na expressão:
Então,
, que não é igual a zero. Portanto, a afirma��ão I é falsa.
Passo 3
Agora vamos para a afirmação II: “Se
é uma projeção ortogonal em uma reta do
, então
.”
Uma projeção ortogonal em uma reta no
pega qualquer vetor e o “projeta” ao longo de direções perpendiculares à reta. Os autovalores dessa projeção são 1 (para vetores na reta) e 0 (para vetores perpendiculares à reta).
Para calcular
, usamos os autovalores de
:
Então,
, que é igual a zero. Portanto, a afirmação II é falsa.
Resposta
A opção correta é (D) Todas são falsas.