A matriz R abaixo representa uma rotação em torno de um eixo passando pela origem, em R^3 :
R=145[rrr 40 & -13 & 16 5 & 40 & 20 -20 & -16 & 37 ]
Qual é o cosseno do ângulo de rotação?
Dica: Determine eixo de rotação, uma direção ortogonal ao eixo e determine o ângulo que este vetor é rodado.
(A) 12
(B) 35
© -34
(D) -12
(E) -35
(F) 45
(G) -45
(H) 34
(I) Não sei

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: Temos uma matriz de rotação Traço(R) = 1 + 2 cos(theta) em . Precisamos encontrar o cosseno do ângulo de rotação.
Para resolver isso, vamos usar a propriedade da matriz de rotação que relaciona o traço (soma dos elementos da diagonal principal) com o ângulo de rotação. A fórmula é:
ç
Então, precisaremos calcular o traço de para encontrar .

Passo 2

Calculamos o traço de Traço(R) = 4045 + 4045 + 3745 = 11745 = 135 :
ç

Passo 3

Aplicamos a fórmula do traço:
135 = 1 + 2 cos(theta)
Subtraindo 1 de ambos os lados:
135 - 55 = 2 cos(theta) Rightarrow 85 = 2 cos(theta)
Dividindo por 2:
cos(theta) = 45

Resposta

O cosseno do ângulo de rotação é (alternativa F).

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