Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A questão fala sobre diagonalização de matrizes e autovalores. Precisamos entender quando uma matriz é diagonalizável olhando para os autovalores dela. Vamos analisar as duas afirmações para ver quais são verdadeiras.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser diagonalizável. Uma matriz é diagonalizável se existe uma matriz invertível e uma matriz diagonal tal que . Isso acontece quando a soma das multiplicidades geométricas dos autovalores de é igual à dimensão da matriz.
Passo 3
Vamos analisar a Afirmação I:
Afirmação I: Se possui 2 autovalores reais distintos com multiplicidades geométricas 19 e 24 respectivamente, então é diagonalizável.
Aqui, temos dois autovalores com multiplicidades geométricas que somam , que é igual à dimensão da matriz. Como a soma das multiplicidades geométricas cobre toda a dimensão, isso significa que pode ser diagonalizada. Portanto, a Afirmação I é verdadeira.
Passo 4
Agora, vamos para a Afirmação II:
Afirmação II: Se possui 65 autovalores reais distintos, então é diagonalizável.
Quando uma matriz tem autovalores distintos, cada um terá pelo menos uma multiplicidade geométrica igual a 1. No caso de 65 autovalores distintos, a soma das multiplicidades geométricas será , que novamente é igual à dimensão da matriz. Isso garante que a matriz é diagonalizável. Logo, a Afirmação II também é verdadeira.