Considere as afirmativas abaixo:
I - Se P: R^43 R^43 possui 2 autovalores reais distintos com multiplicidade geométrica 19 e 24 respectivamente, então P é diagonalizável.
II - Se S: R^65 R^65 possui 65 autovalores reais distintos, então S é diagonalizável.
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Apenas II é verdadeira.
© Todas são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A questão fala sobre diagonalização de matrizes e autovalores. Precisamos entender quando uma matriz é diagonalizável olhando para os autovalores dela. Vamos analisar as duas afirmações para ver quais são verdadeiras.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser diagonalizável. Uma matriz é diagonalizável se existe uma matriz invertível e uma matriz diagonal tal que . Isso acontece quando a soma das multiplicidades geométricas dos autovalores de é igual à dimensão da matriz.

Passo 3

Vamos analisar a Afirmação I:
  • Afirmação I: Se possui 2 autovalores reais distintos com multiplicidades geométricas 19 e 24 respectivamente, então é diagonalizável.
Aqui, temos dois autovalores com multiplicidades geométricas que somam , que é igual à dimensão da matriz. Como a soma das multiplicidades geométricas cobre toda a dimensão, isso significa que pode ser diagonalizada. Portanto, a Afirmação I é verdadeira.

Passo 4

Agora, vamos para a Afirmação II:
  • Afirmação II: Se possui 65 autovalores reais distintos, então é diagonalizável.
Quando uma matriz tem autovalores distintos, cada um terá pelo menos uma multiplicidade geométrica igual a 1. No caso de 65 autovalores distintos, a soma das multiplicidades geométricas será , que novamente é igual à dimensão da matriz. Isso garante que a matriz é diagonalizável. Logo, a Afirmação II também é verdadeira.

Resposta

A resposta correta é a opção © Todas são verdadeiras.

Exercícios relacionados

Considere as afirmativas abaixo:
I - Se uma matriz quadrada não tem autovetores então ela tem inversa.
II - Os autovalores de A^T podem ser diferentes dos de A.
(A) Apenas II é verdadeira.
(B) Todas são verdadeiras.
© Todas são falsas.
(D) Apenas I é verdadeira.
(E) Não sei
Nos itens a seguir, use identidades trigonométricas apropriadas para demostrar que as funções de F(-infty, infty) dadas são linearmente dependentes.
f1(x)=sen^4(x), f2(x)=cos ^4(x) e f3(x)=cos (2 x)
Sabemos que existe P inversivel tal que:
[rrr -5 & -7 & -2 2 & 4 & 2 2 & 1 & -1 ]=P[rrr -3 & 0 & 0 0 & a & 0 0 & 0 & b ] P^-1 com a
A 3a coluna da matriz P é múltipla de:
(A) [l4 * 1]
(B) [l4 0 4]
© [l4 * 3]
(D) [l4 * 2]
(E) Não sei
Considere a sequência formada pela lei de recorrência xn+2=-3 xn+283 xn+1, n=1,2,3, ldots. Se x1=6, para que valor de x2 temos lim n infty xn=0 ?
Dica: defina vn=[cn infty xn xn+1] e note que
vn+1=[rr 0 & 1 -3 & 28 / 3 ] vn para n=1,2,3, ldots
Portanto vn+1=[rr0 & 1 -3 & 28 / 3]^n v1.
(A) 5
(B) 6
© 4
(D) 8
(E) 3
(F) 7
(G) 2
(H) 9
(I) Não sei