Sabemos que existe P inversivel tal que:
[rrr -5 & -7 & -2 2 & 4 & 2 2 & 1 & -1 ]=P[rrr -3 & 0 & 0 0 & a & 0 0 & 0 & b ] P^-1 com a
A 3a coluna da matriz P é múltipla de:
(A) [l4 * 1]
(B) [l4 0 4]
© [l4 * 3]
(D) [l4 * 2]
(E) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz A = P -3 & 0 & 0 0 & a & 0 0 & 0 & b P^-1 que é similar a uma matriz diagonal, ou seja, existe uma matriz inversível tal que:
Nos pedem para descobrir qual é a terceira coluna da matriz . Para isso, vamos precisar entender sobre autovalores e autovetores, já que a matriz é formada pelos autovetores de .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz det(A - lambda I) = 0 . Sabemos que a matriz diagonalizada tem os autovalores na diagonal, ou seja, A - lambda I = -5 - lambda & -7 & -2 2 & 4 - lambda & 2 2 & 1 & -1 - lambda , e . Mas para confirmar, vamos calcular o determinante de e resolver para :
Onde:
Calculando o determinante, confirmamos que é realmente um dos autovalores.

Passo 3

Sabendo que é um autovalor, precisamos encontrar os outros dois autovalores e . Sabemos que , então vamos resolver o polinômio característico para encontrar seus valores. Depois de resolver, descobrimos que os autovalores são , , e , sendo e .

Passo 4

Agora, vamos encontrar o autovetor correspondente ao autovalor A - 5I = -5 - 5 & -7 & -2 2 & 4 - 5 & 2 2 & 1 & -1 - 5 = -10 & -7 & -2 2 & -1 & 2 2 & 1 & -6 . Para isso, resolvemos 4 0 1:
Resolvendo o sistema, encontramos que o autovetor pode ser escrito como múltiplo de .

Resposta

A terceira coluna da matriz 4 0 1 é múltipla de . Portanto, a resposta correta é a opção A).

Exercícios relacionados

Considere as afirmativas abaixo:
I - Se P: R^43 R^43 possui 2 autovalores reais distintos com multiplicidade geométrica 19 e 24 respectivamente, então P é diagonalizável.
II - Se S: R^65 R^65 possui 65 autovalores reais distintos, então S é diagonalizável.
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Apenas II é verdadeira.
© Todas são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Não sei
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se uma matriz quadrada não tem autovetores então ela tem inversa.
II - Os autovalores de A^T podem ser diferentes dos de A.
(A) Apenas II é verdadeira.
(B) Todas são verdadeiras.
© Todas são falsas.
(D) Apenas I é verdadeira.
(E) Não sei
Considere a sequência formada pela lei de recorrência xn+2=-3 xn+283 xn+1, n=1,2,3, ldots. Se x1=6, para que valor de x2 temos lim n infty xn=0 ?
Dica: defina vn=[cn infty xn xn+1] e note que
vn+1=[rr 0 & 1 -3 & 28 / 3 ] vn para n=1,2,3, ldots
Portanto vn+1=[rr0 & 1 -3 & 28 / 3]^n v1.
(A) 5
(B) 6
© 4
(D) 8
(E) 3
(F) 7
(G) 2
(H) 9
(I) Não sei
Julgue os itens como verdadeiro ou falso e justifique a sua resposta.
Se T: R^2 R^2 possui autovetores v1=(-2,1) e v2=(3,1) associados aos autovalores lambda1=3 e lambda2=-1, respectivamente, então T(-1,3)=(-15,3).