Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz A = P -3 & 0 & 0 0 & a & 0 0 & 0 & b P^-1 que é similar a uma matriz diagonal, ou seja, existe uma matriz inversível tal que:
Nos pedem para descobrir qual é a terceira coluna da matriz . Para isso, vamos precisar entender sobre autovalores e autovetores, já que a matriz é formada pelos autovetores de .
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz det(A - lambda I) = 0 . Sabemos que a matriz diagonalizada tem os autovalores na diagonal, ou seja, A - lambda I = -5 - lambda & -7 & -2 2 & 4 - lambda & 2 2 & 1 & -1 - lambda , e . Mas para confirmar, vamos calcular o determinante de e resolver para :
Onde:
Calculando o determinante, confirmamos que é realmente um dos autovalores.
Passo 3
Sabendo que é um autovalor, precisamos encontrar os outros dois autovalores e . Sabemos que , então vamos resolver o polinômio característico para encontrar seus valores. Depois de resolver, descobrimos que os autovalores são , , e , sendo e .