Primeiro, vamos resumir o enunciado da questão. Temos duas afirmações sobre matrizes quadradas, autovalores e autovetores. O conteúdo principal aqui é Álgebra Linear, especificamente propriedades de matrizes e seus autovalores e autovetores. Para resolver, vamos precisar entender o que são autovetores, autovalores, matriz transposta e inversa de uma matriz.
Passo 2
Vamos analisar a Afirmação I: “Se uma matriz quadrada não tem autovetores então ela tem inversa.”
Para entender isso, precisamos saber que se uma matriz quadrada não tem autovetores, isso significa que ela não pode ser diagonalizada. No entanto, a existência de autovetores não está diretamente relacionada à inversibilidade da matriz. Uma matriz tem inversa se e somente se seu determinante é diferente de zero. Portanto, não ter autovetores não garante que a matriz seja inversível.
Passo 3
Agora, vamos para a Afirmação II: “Os autovalores de podem ser diferentes dos de .”
Sabemos que uma matriz e sua transposta têm os mesmos autovalores. Isso ocorre porque o polinômio característico de é igual ao de , ou seja, . Portanto, os autovalores de são os mesmos de .
Passo 4
Com base nas análises anteriores:
Afirmação I é falsa.
Afirmação II também é falsa porque os autovalores de são iguais aos de .