Nos itens a seguir, use identidades trigonométricas apropriadas para demostrar que as funções de F(-infty, infty) dadas são linearmente dependentes.
f1(x)=sen^4(x), f2(x)=cos ^4(x) e f3(x)=cos (2 x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que as funções , e são linearmente dependentes. Para isso, vamos usar identidades trigonométricas que nos ajudem a simplificar essas funções e ver se conseguimos escrever uma delas como combinação linear das outras. Vamos precisar lembrar das fórmulas de potências de seno e cosseno e da identidade para .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar sin^2(x) = 1 - cos(2x)2 e cos^2(x) = 1 + cos(2x)2 e . Sabemos que:
Agora, vamos elevar ao quadrado para obter e .

Passo 3

Elevando sin^4(x) = ( 1 - cos(2x)2 )^2 = 1 - 2cos(2x) + cos^2(2x)4 ao quadrado:
cos^4(x) = ( 1 + cos(2x)2 )^2 = 1 + 2cos(2x) + cos^2(2x)4
E fazendo o mesmo para :

Passo 4

Agora, somando sin^4(x) + cos^4(x) = 1 - 2cos(2x) + cos^2(2x)4 + 1 + 2cos(2x) + cos^2(2x)4 = 2 + 2cos^2(2x)4 = 1 + cos^2(2x)2 e :

Passo 5

Observamos que temos cos^2(2x) = 1 + cos(4x)2 . Vamos simplificar isso usando a identidade:
sin^4(x) + cos^4(x) = 1 + 1 + cos(4x)22 = 3 + cos(4x)4
Substituindo na expressão anterior:

Passo 6

Agora, queremos relacionar isso com sin^4(x) + cos^4(x) - 34 = cos(4x)4 . Podemos reescrever a expressão para ver se conseguimos uma combinação linear:
4sin^4(x) + 4cos^4(x) - 3 = cos(4x)
Multiplicando ambos os lados por 4:

Passo 7

Agora, temos uma relação entre cos(4x) = 2cos^2(2x) - 1 , 4sin^4(x) + 4cos^4(x) - 3 = 2cos^2(2x) - 1 e . Mas queremos relacionar com . Observamos que pode ser expresso em termos de usando a identidade:
Substituindo:

Passo 8

Rearranjando os termos:
4sin^4(x) + 4cos^4(x) - 2cos^2(2x) - 2 = 0
Isso mostra que existe uma combinação não trivial das funções , e que resulta em zero, comprovando que elas são linearmente dependentes.

Resposta

As funções , e são linearmente dependentes.

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(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Apenas II é verdadeira.
© Todas são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Não sei