Nos itens a seguir, use identidades trigonométricas apropriadas para demostrar que as funções de
dadas são linearmente dependentes.
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que as funções
,
e
são linearmente dependentes. Para isso, vamos usar identidades trigonométricas que nos ajudem a simplificar essas funções e ver se conseguimos escrever uma delas como combinação linear das outras. Vamos precisar lembrar das fórmulas de potências de seno e cosseno e da identidade para
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar
e
. Sabemos que:
Agora, vamos elevar ao quadrado para obter
e
.
Passo 3
Elevando
ao quadrado:
E fazendo o mesmo para
:
Passo 4
Agora, somando
e
:
Passo 5
Observamos que temos
. Vamos simplificar isso usando a identidade:
Substituindo na expressão anterior:
Passo 6
Agora, queremos relacionar isso com
. Podemos reescrever a expressão para ver se conseguimos uma combinação linear:
Multiplicando ambos os lados por 4:
Passo 7
Agora, temos uma relação entre
,
e
. Mas queremos relacionar com
. Observamos que
pode ser expresso em termos de
usando a identidade:
Substituindo:
Passo 8
Rearranjando os termos:
Isso mostra que existe uma combinação não trivial das funções
,
e
que resulta em zero, comprovando que elas são linearmente dependentes.
Resposta
As funções
,
e
são linearmente dependentes.
Exercícios relacionados
Os polinômios
e
são linearmente independentes?
Seja
um vetor não-nulo. O conjunto
de todos os múltiplos de
é um subespaço vetorial de
?
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se uma matriz quadrada não tem autovetores então ela tem inversa.
II - Os autovalores de podem ser diferentes dos de
.
(A) Apenas II é verdadeira.
(B) Todas são verdadeiras.
© Todas são falsas.
(D) Apenas I é verdadeira.
(E) Não sei
I - Se uma matriz quadrada não tem autovetores então ela tem inversa.
II - Os autovalores de
(A) Apenas II é verdadeira.
(B) Todas são verdadeiras.
© Todas são falsas.
(D) Apenas I é verdadeira.
(E) Não sei
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se possui 2 autovalores reais distintos com multiplicidade geométrica 19 e 24 respectivamente, então
é diagonalizável.
II - Se possui 65 autovalores reais distintos, então
é diagonalizável.
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Apenas II é verdadeira.
© Todas são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Não sei
I - Se
II - Se
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Apenas II é verdadeira.
© Todas são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Não sei