Seja o conjunto dos tais que:
A dimensão de é:
(E) 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a dimensão do conjunto que é formado por vetores em que satisfazem algumas equações. O que isso significa? Basicamente, estamos lidando com um sistema de equações lineares e queremos descobrir quantas “direções livres” existem nesse conjunto, ou seja, quantas variáveis podemos escolher livremente. Para resolver, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre sistemas lineares e espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos listar as equações que definem o conjunto :

Passo 3

Agora, analisamos cada equação para ver como elas relacionam as variáveis:
  1. : Isso significa que a quinta coordenada é igual à segunda.
  2. : A décima quinta coordenada é igual à sétima.
  3. : A décima segunda coordenada é igual à décima terceira.
  4. : Essa equação relaciona as variáveis já mencionadas.

Passo 4

Vamos verificar se a última equação é independente das anteriores. Substituindo e na quarta equação:
Isso é sempre verdadeiro, ou seja, não nos dá nenhuma nova informação. Portanto, a quarta equação é redundante e não conta como uma equação independente.

Passo 5

Agora, sabemos que temos 3 equações independentes que relacionam 19 variáveis. Na álgebra linear, a dimensão do espaço solução é igual ao número de variáveis menos o número de equações independentes. Assim:
ã

Resposta

A dimensão de é 16.

Exercícios relacionados

Seja a transformação
e seja um paralelepípedo com volume 5 . O volume do paralelepípedo transformado :
(A) é maior do que o volume de .
(B) pode ser maior ou menor do que o volume de .
© é igual ao volume de .
(D) é menor do que o volume de .
(E) Não sei
Seja uma matriz simétrica e a forma quadrática associada. Se o espectro de é , podemos afirmar que:
(A) para todo .
(B) para todo e existe com .
© para todo e existe com .
(D) existem e tais que .
(E) para todo .
(F) Não sei
Aplique o algoritmo de escalonamento na matriz aumentada:
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se possui como polinômio característico e autovalor 8 com multiplicidade geométrica 11, então é diagonalizável.
II - Se é , então possui um autovetor .
(A) Apenas II é verdadeira.
(B) Todas são verdadeiras.
© Todas são falsas.
(D) Apenas I é verdadeira.
(E) Não sei