Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a dimensão do conjunto que é formado por vetores em que satisfazem algumas equações. O que isso significa? Basicamente, estamos lidando com um sistema de equações lineares e queremos descobrir quantas “direções livres” existem nesse conjunto, ou seja, quantas variáveis podemos escolher livremente. Para resolver, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre sistemas lineares e espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos listar as equações que definem o conjunto :
Passo 3
Agora, analisamos cada equação para ver como elas relacionam as variáveis:
: Isso significa que a quinta coordenada é igual à segunda.
: A décima quinta coordenada é igual à sétima.
: A décima segunda coordenada é igual à décima terceira.
: Essa equação relaciona as variáveis já mencionadas.
Passo 4
Vamos verificar se a última equação é independente das anteriores. Substituindo e na quarta equação:
Isso é sempre verdadeiro, ou seja, não nos dá nenhuma nova informação. Portanto, a quarta equação é redundante e não conta como uma equação independente.
Passo 5
Agora, sabemos que temos 3 equações independentes que relacionam 19 variáveis. Na álgebra linear, a dimensão do espaço solução é igual ao número de variáveis menos o número de equações independentes. Assim: