Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício de Álgebra Linear que você me enviou. A gente tem duas afirmações sobre transformações lineares e diagonalização de matrizes. Nosso objetivo é analisar cada afirmação para decidir se são verdadeiras ou falsas. Para isso, vamos precisar entender conceitos como diagonalizabilidade, polinômio característico e multiplicidade geométrica.
Passo 2
Vamos começar pela Afirmação I:
I - Se , é diagonal e é uma matriz com , então é diagonalizável.
Primeiro, vamos entender o que isso significa. A equação sugere que é similar à matriz , já que é diagonal. Em Álgebra Linear, dizemos que duas matrizes e são similares se existe uma matriz invertível tal que . Se uma matriz é semelhante a uma matriz diagonal , então ela é diagonalizável.
No entanto, há um detalhe importante na afirmação: . Isso significa que a matriz não é invertível, pois ela tem um núcleo (espaço nulo) diferente do vetor nulo.
Mesmo com não sendo invertível, a relação ainda implica que tem a mesma estrutura espectral (valores próprios) que . Como é diagonal, isso sugere que também pode ser diagonalizável. Portanto, a afirmação I é verdadeira.
Passo 3
Agora, vamos para a Afirmação II:
II - Se possui como polinômio característico e autovalor -7 com multiplicidade geométrica 19, então não é diagonalizável.
Vamos desconstruir isso. O polinômio característico nos dá os autovalores da transformação linear e suas multiplicidades algébricas. Aqui, temos dois autovalores: -7 com multiplicidade algébrica 21 e 7 com multiplicidade algébrica 25.
A diagonalizabilidade de uma matriz (ou transformação linear) requer que a multiplicidade geométrica de cada autovalor seja igual à sua multiplicidade algébrica. A multiplicidade geométrica é o número de vetores próprios linearmente independentes associados a um autovalor, ou seja, a dimensão do espaço próprio.
No caso da afirmação, o autovalor -7 tem multiplicidade geométrica 19, que é menor que sua multiplicidade algébrica (21). Isso significa que não há vetores próprios suficientes para diagonalizar . Portanto, não é diagonalizável.