Considere as afirmativas abaixo:
- Se
diagonal e
com Ker
, então
é diagonalizável.
II - Se
possui como polinômio característico
e autovalor -7 com multiplicidade geométrica 19, então
não é diagonalizável.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
© Todas são verdadeiras.
(D) Apenas II é verdadeira.
(E) Não sei
II - Se
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
© Todas são verdadeiras.
(D) Apenas II é verdadeira.
(E) Não sei
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício de Álgebra Linear que você me enviou. A gente tem duas afirmações sobre transformações lineares e diagonalização de matrizes. Nosso objetivo é analisar cada afirmação para decidir se são verdadeiras ou falsas. Para isso, vamos precisar entender conceitos como diagonalizabilidade, polinômio característico e multiplicidade geométrica.
Passo 2
Vamos começar pela Afirmação I:
I - Se
,
é diagonal e
é uma matriz
com
, então
é diagonalizável.
Primeiro, vamos entender o que isso significa. A equação
sugere que
é similar à matriz
, já que
é diagonal. Em Álgebra Linear, dizemos que duas matrizes
e
são similares se existe uma matriz invertível
tal que
. Se uma matriz é semelhante a uma matriz diagonal
, então ela é diagonalizável.
No entanto, há um detalhe importante na afirmação:
. Isso significa que a matriz
não é invertível, pois ela tem um núcleo (espaço nulo) diferente do vetor nulo.
Mesmo com
não sendo invertível, a relação
ainda implica que
tem a mesma estrutura espectral (valores próprios) que
. Como
é diagonal, isso sugere que
também pode ser diagonalizável. Portanto, a afirmação I é verdadeira.
Passo 3
Agora, vamos para a Afirmação II:
II - Se
possui como polinômio característico
e autovalor -7 com multiplicidade geométrica 19, então
não é diagonalizável.
Vamos desconstruir isso. O polinômio característico nos dá os autovalores da transformação linear
e suas multiplicidades algébricas. Aqui, temos dois autovalores: -7 com multiplicidade algébrica 21 e 7 com multiplicidade algébrica 25.
A diagonalizabilidade de uma matriz (ou transformação linear) requer que a multiplicidade geométrica de cada autovalor seja igual à sua multiplicidade algébrica. A multiplicidade geométrica é o número de vetores próprios linearmente independentes associados a um autovalor, ou seja, a dimensão do espaço próprio.
No caso da afirmação, o autovalor -7 tem multiplicidade geométrica 19, que é menor que sua multiplicidade algébrica (21). Isso significa que não há vetores próprios suficientes para diagonalizar
. Portanto,
não é diagonalizável.
Assim, a afirmação II é verdadeira.
Resposta
A opção correta é:
© Todas são verdadeiras.