Verificar se os subconjuntos abaixo são subespaços de
:
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa verificar se o conjunto
de matrizes
definido por
é um subespaço de
. Isso está no campo da álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar checar três coisas fundamentais:
- Contém o vetor zero: A matriz zero está em
? - Fechamento sob adição: Se pegarmos duas matrizes em
, a soma delas também está em ? - Fechamento sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos uma matriz em
por um número real, o resultado ainda está em ?
Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos ver se
contém a matriz zero. A matriz zero em
é
Será que conseguimos escolher
para que
Claro que sim! Basta escolher
,
e
. Portanto, a matriz zero está em
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos duas matrizes quaisquer em
, a soma delas também deve estar em
.
Vamos chamar duas matrizes em
:
A soma delas é:
Observa que
,
e
são números reais (já que
são reais). Assim,
também está na forma de
. Então,
é fechado sob adição.
Passo 4
Por último, vamos ver se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se multiplicarmos uma matriz em
por qualquer número real, o resultado também deve estar em
.
Pegue uma matriz qualquer em
:
Multiplicando por um escalar
:
Como
,
e
são reais,
também está na forma de
. Portanto,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como
contém a matriz zero, é fechado sob adição e também sob multiplicação por escalar, podemos concluir que
é um subespaço de
.