Verificar se os subconjuntos abaixo são subespaços de :
b)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa verificar se o conjunto de matrizes definido por
é um subespaço de . Isso está no campo da álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar checar três coisas fundamentais:
  1. Contém o vetor zero: A matriz zero está em ?
  2. Fechamento sob adição: Se pegarmos duas matrizes em , a soma delas também está em ?
  3. Fechamento sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos uma matriz em por um número real, o resultado ainda está em ?
Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos ver se contém a matriz zero. A matriz zero em é
Será que conseguimos escolher para que
Claro que sim! Basta escolher , e . Portanto, a matriz zero está em .

Passo 3

Agora, vamos verificar se é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos duas matrizes quaisquer em , a soma delas também deve estar em .
Vamos chamar duas matrizes em :
A soma delas é:
Observa que , e são números reais (já que são reais). Assim, também está na forma de . Então, é fechado sob adição.

Passo 4

Por último, vamos ver se é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se multiplicarmos uma matriz em por qualquer número real, o resultado também deve estar em .
Pegue uma matriz qualquer em :
Multiplicando por um escalar :
Como , e são reais, também está na forma de . Portanto, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como contém a matriz zero, é fechado sob adição e também sob multiplicação por escalar, podemos concluir que é um subespaço de .

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Sabemos que existe inversível tal que:
A 3a coluna da matriz é múltipla de:
(A)
(B)
©
(D)
(E) Não sei
Seja uma matriz simétrica e a forma quadrática associada. Se o espectro de é , podemos afirmar que:
(A) para todo e existe com .
(B) para todo .
© para todo e existe .
(D) existem e tais que .
(E) para todo .
(F) Não sei
Considere as afirmativas abaixo:
- Se diagonal e com Ker , então é diagonalizável.
II - Se possui como polinômio característico e autovalor -7 com multiplicidade geométrica 19, então não é diagonalizável.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
© Todas são verdadeiras.
(D) Apenas II é verdadeira.
(E) Não sei
Nos problemas de 10 - 17, verificar quais subconjuntos do são subespaços vetoriais relativos as operações usuais de soma e multiplicação por escalar:
17) e .