Verificar se os subconjuntos abaixo são subespaços de :
b)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa verificar se o conjunto de matrizes definido por
é um subespaço de . Isso está no campo da álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar checar três coisas fundamentais:
Contém o vetor zero: A matriz zero está em ?
Fechamento sob adição: Se pegarmos duas matrizes em , a soma delas também está em ?
Fechamento sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos uma matriz em por um número real, o resultado ainda está em ?
Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos ver se contém a matriz zero. A matriz zero em é
Será que conseguimos escolher para que
Claro que sim! Basta escolher , e . Portanto, a matriz zero está em .
Passo 3
Agora, vamos verificar se é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos duas matrizes quaisquer em , a soma delas também deve estar em .
Vamos chamar duas matrizes em :
A soma delas é:
Observa que , e são números reais (já que são reais). Assim, também está na forma de . Então, é fechado sob adição.
Passo 4
Por último, vamos ver se é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se multiplicarmos uma matriz em por qualquer número real, o resultado também deve estar em .
Pegue uma matriz qualquer em :
Multiplicando por um escalar :
Como , e são reais, também está na forma de . Portanto, é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como contém a matriz zero, é fechado sob adição e também sob multiplicação por escalar, podemos concluir que é um subespaço de .