Verificar se os subconjuntos abaixo são subespaços de M(2,2) :
b) S=[lla & b 0 & c], a, b, in R

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa verificar se o conjunto S = a & b 0 & c , a, b, c in R de matrizes definido por
é um subespaço de . Isso está no campo da álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar checar três coisas fundamentais:
  1. Contém o vetor zero: A matriz zero está em ?
  2. Fechamento sob adição: Se pegarmos duas matrizes em , a soma delas também está em ?
  3. Fechamento sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos uma matriz em por um número real, o resultado ainda está em ?
Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos ver se 0 & 0 0 & 0 contém a matriz zero. A matriz zero em a & b 0 & c = 0 & 0 0 & 0 ? é
Será que conseguimos escolher para que
Claro que sim! Basta escolher , e . Portanto, a matriz zero está em .

Passo 3

Agora, vamos verificar se A = a & b 0 & c , B = d & e 0 & f é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos duas matrizes quaisquer em A + B = a + d & b + e 0 + 0 & c + f = a + d & b + e 0 & c + f , a soma delas também deve estar em .
Vamos chamar duas matrizes em :
A soma delas é:
Observa que , e são números reais (já que são reais). Assim, também está na forma de . Então, é fechado sob adição.

Passo 4

Por último, vamos ver se A = a & b 0 & c é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se multiplicarmos uma matriz em kA = k a & b 0 & c = ka & kb 0 & kc por qualquer número real, o resultado também deve estar em .
Pegue uma matriz qualquer em :
Multiplicando por um escalar :
Como , e são reais, também está na forma de . Portanto, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como contém a matriz zero, é fechado sob adição e também sob multiplicação por escalar, podemos concluir que é um subespaço de .

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